Aturan rantai turunan kovarian orde tinggi
Membiarkan $(M,g)$menjadi berjenis Riemannian. Membiarkan$\nabla_v$ menjadi turunan kovarian di $v$ arahan untuk semua $v\in T_xM$, dan menunjukkan dengan $\nabla^k h$ itu $(k,0)$-tensor field didefinisikan dalam koordinat lokal secara induktif oleh $$ \nabla^0h=dh,\quad(\nabla^kh)_{i_1,\dots,i_k}=(\nabla_{\partial_{i_1}}h)_{i_2,\dots,i_k}. $$ untuk segala fungsi yang mulus $h$.
Pertanyaan saya adalah: apakah ada cara yang bagus untuk mengungkapkan perbedaannya $\nabla\nabla_udh-\nabla_u\nabla dh$?
Untuk menghindari kebingungan, saya mempertimbangkan ungkapan yang diberikan oleh $$ \nabla(\nabla_udh)(X,Y)-\nabla_u(\nabla dh)(X,Y)=\nabla_X(\underbrace{\nabla_udh}_{(1,0) -tensor\,field})(Y)-\nabla_u(\underbrace{\nabla dh}_{(2,0)-tensor\,field})(X,Y). $$Ini terlihat mirip dengan tensor kelengkungan Riemannian yang diterapkan pada formulir. Saya telah mencoba mengembangkan perbedaan, tetapi saya tidak dapat melihat sesuatu yang familiar. Secara lebih umum (tapi mungkin saya bertanya terlalu banyak), apakah ada cara yang bagus untuk menulis$$ \nabla^k\nabla_udh-\nabla_u\nabla^kdh=? $$
Jawaban
Menulis $\nabla_u dh = c^1_1 ( u\otimes \nabla dh)$, dimana $c^1_1$ adalah kontraksi, lalu
\begin{align} \nabla (\nabla_u dh ) &= \nabla(c^1_1 ( u\otimes \nabla dh)) \\ &=c^1_1 \nabla (u\otimes \nabla dh) \\ &= c^1_1( \nabla u \otimes \nabla dh + u \otimes \nabla \nabla dh) \end{align}
Secara khusus, ini berarti untuk semua $X, Y$dan menggunakan identitas Ricci ,
\begin{align} \nabla (\nabla_u dh ) (X, Y) &= (\nabla_{\nabla_X u} dh) (Y)+ \nabla_X \nabla_u dh (Y)\\ &= (\nabla_{\nabla_X u} dh) (Y)+ \nabla_u \nabla_X dh (Y) + R(u, X)dh (Y) \end{align}
jadi
$$\big( \nabla (\nabla_u dh ) - \nabla_u \nabla dh \big)(X, Y) = (\nabla_{\nabla_X u} dh) (Y)+ R(u, X)dh (Y).$$
jadi seperti yang diharapkan istilah kelengkungan keluar. Kami juga punya$\nabla u$. Secara umum, saat menghitung$$ \nabla^k \nabla_u dh- \nabla _u \nabla^k dh,$$ Anda harus membedakan $u$ $k$-times dan menggunakan identitas Ricci $k$-waktu. Saya kira tidak akan ada formula yang bagus.