Bagaimana $A$ berhubungan dengan $B$ jika $A - \lfloor A/B \rfloor - \lceil A/B \rceil \leq \lfloor A/B \rfloor \times (B+1)$?

Question

Untuk $A \geq B$, keduanya adalah bilangan bulat positif, apa hubungan di antara keduanya $A$ dan $B$ sedemikian rupa sehingga yang berikut ini benar? $$A - \lfloor A/B \rfloor - \lceil A/B \rceil \leq \lfloor A/B \rfloor \times (B+1)$$

Sebelumnya saya menanyakan pertanyaan ini bisa di sini , dan contoh balasan telah terbukti membantahnya. Sekarang saya ingin bertanya apakah kita dapat menemukan kondisi (ekspresi dalam istilah$A$ dan $B$) sedemikian rupa sehingga benar.

Satu hal yang saya perhatikan (generalisasi dari jawaban @Clement Yung di posting asli saya - terima kasih!) Adalah jika $B = \lceil A/k \rceil$ (untuk setiap konstanta $k$), maka pernyataan di atas salah. Saya ingin tahu apakah ada kasus lain seperti itu salah, atau apakah lebih baik jika ada kondisi ketika itu selalu benar.

Answer 1

Pertimbangkan dulu kasus di mana $A=B$ lalu $A/B=1$. Pada kasus ini,$\lfloor A/B\rfloor=\lceil A/B\rceil=1$, sehingga ketimpangan OP akan berkurang menjadi

$$A-3\lfloor A/B \rfloor \leq B \lfloor A/B \rfloor$$ $$A-3\leq A $$

yang sepele benar.

Jika $A/B>1$, kemudian $\lfloor A/B\rfloor+1=\lceil A/B\rceil$, sehingga ketimpangan menjadi

$$A-3\lfloor A/B \rfloor -1\leq B \lfloor A/B \rfloor$$ $$A-(B+3)\lfloor A/B \rfloor -1\leq 0$$ $$\lfloor A/B \rfloor\geq \frac{A-1}{B+3}$$

Ini adalah kondisi yang dibutuhkan untuk memenuhi ketimpangan awal OP.

---

Misalnya, jika $A=5$ dan $B=2$, maka kondisinya terpenuhi sejak itu $$\lfloor 5/2 \rfloor=2 > \frac{5-1}{2+3}=\frac 45$$

Dengan demikian, untuk nilai-nilai ini ketidaksetaraan awal berlaku, seperti yang diberikannya

$$5-2-3\leq 2\cdot 3$$ $$0\leq 6$$

Sebagai contoh lain, jika $A=12$ dan $B=7$, maka kondisinya tidak terpenuhi sejak itu $$\lfloor 12/7 \rfloor=1 < \frac{12-1}{7+3}=\frac {11}{10}$$

Dengan demikian, untuk nilai-nilai ini ketidaksetaraan awal tidak berlaku, karena itu akan memberi

$$12-1-2\leq 1\cdot 7$$ $$9\leq 7$$

Answer 2

$ \newcommand{\f}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor} \newcommand{\c}[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} $ Pertimbangkan untuk menulis $A = NB + k$ untuk beberapa $N \in \Bbb{Z}^+$ dan $0 \leq k < B$. Kami mempertimbangkan dua kasus.

Jika $k = 0$ (yaitu $A$ adalah kelipatan dari $B$), lalu kita dapat menulis ulang pertidaksamaan tersebut sebagai: \ begin {align *} A - \ f {A / B} - \ c {A / B} \ leq \ f {A / B} (B + 1) & \ iff NB - 2N \ leq N (B + 1) \\ & \ iff -2N \ leq N \\ & \ iff N \ geq 0 \ end {align *} yang selalu berlaku. Jika$k > 0$, lalu: \ begin {align *} A - \ f {A / B} - \ c {A / B} \ leq \ f {A / B} (B + 1) & \ iff (NB + k) - N - (N + 1) \ leq N (B + 1) \\ & \ iff k - 2N - 1 \ leq N \\ & \ iff 3N + 1 \ geq k \ end {align *} Untuk tetap$B \in \Bbb{Z}^+$, sekarang kita dapat mengklasifikasikan semua bilangan bulat $A$ sedemikian rupa sehingga ketidaksetaraan dipenuhi dengan mempertimbangkan nilai $k$ (yaitu sisa $A$ jika dibagi dengan $B$, yang mengambil banyak kemungkinan nilai). Secara khusus, jika$3N + 1 \geq B - 1$, maka ketidaksetaraan segera terpenuhi.