Bagaimana belajar untuk mempelajari geometri diferensial untuk menerapkannya pada statistik

Aug 17 2020

Pada dasarnya saya ingin mempelajari geometri informasi atau secara khusus aplikasi geometri diferensial dalam statistik untuk melakukan suatu proyek. Saya dari latar belakang statistik dan memiliki pengetahuan tentang analisis nyata, beberapa variabel kalkulus, aljabar linier. Salah satu profesor saya memberi tahu saya bahwa tiga bab pertama dari geometri Diferensial Do Carmo sudah cukup. Dapatkah seseorang meyakinkan saya jika itu cukup atau apakah saya perlu belajar geometri Riemannian. Dan jika saya perlu belajar geometri Riemannian maka apa yang seharusnya menjadi jalur saya untuk belajar. Saya tidak ingin belajar matematika yang ketat. Saya hanya ingin menerapkannya pada statistik.

Jawaban

5 MircoA.Mannucci Aug 17 2020 at 04:47

Avishek, tidak mudah untuk menjawab dengan sedikit konteks yang Anda berikan.

Saya akan pergi dulu dengan apa yang dikatakan prof Anda, dan ya, Do Carmo adalah tempatnya.

Di sana, Anda akan mempelajari semua tentang permukaan di $R^n$, yang pada dasarnya adalah geometri diferensial klasik.

Sebaliknya, jika proyek Anda berada pada tingkat penelitian (katakanlah tesis master atau lebih tinggi), unduh artikel ini . Itu ada hubungannya dengan geometri informasi abstrak, yang pada gilirannya bergantung pada geometri diferensial modern: manifold, kalkulus tensor, dll. Pada dasarnya, perbedaan utama antara yang pertama dan yang kedua adalah bahwa dalam teori manifold Anda tidak memulai dari manifold tertanam, melainkan Anda mendefinisikan seluruh mesin secara intrinsik.

Jika Anda tidak mengetahui geometri klasik permukaan, Anda masih harus menghabiskan beberapa hari di Do Carmo. Kemudian bersiaplah untuk mengeluarkan banyak keringat, untuk masuk ke pendekatan modern.

Semoga membantu

2 GabeK Aug 17 2020 at 08:58

Saya pikir Do Carmo adalah pilihan yang bagus. Secara pribadi, saya penggemar John Lee's Introduction to Smooth Manifold dan sekuelnya Riemannian Manifold. Meskipun ini ditulis pada tingkat yang lebih tinggi, mereka benar-benar menekankan gambaran geometris di tempat kerja.

Menurut saya survei oleh Nielsen adalah artikel yang bagus dan saya merasa sangat terbantu untuk mendapatkan gambaran umum tentang IG. Namun, saya tidak akan merekomendasikan menggunakannya untuk mempelajari geometri diferensial. Kebanyakan buku tentang geometri informasi menggunakan pendekatan geometri yang sangat istimewa, yang dapat menimbulkan berbagai kesalahpahaman. Ini bukan masalah besar jika Anda sudah terbiasa dengan geometri diferensial tetapi lebih menjadi masalah jika Anda mencoba mempelajarinya.

Kedua karya ini layak dibaca jika Anda tertarik dengan IG, tetapi saya akan memberikan contoh yang saya maksud. Baik buku Amari maupun artikel survei oleh Nielsen menyatakan bahwa holonomi koneksi datar itu sepele (meskipun mereka tidak menggunakan bahasa ini). Dalam geometri informasi, koneksi datar minat umumnya pada keluarga eksponensial (di mana ini akhirnya benar). Namun, secara umum, holonomi koneksi datar bukanlah nol (itu diinduksi oleh kelompok fundamental). Selanjutnya, untuk hasil ini, koneksi harus bebas lengkungan dan torsi (bukan hanya bebas lengkungan). Manifold statistik umumnya dianggap memiliki koneksi bebas torsi, jadi ini bukan masalah dalam aplikasi. Ini adalah poin yang relatif kecil jika Anda terbiasa dengan geometri diferensial,tetapi akan menyesatkan jika seseorang mempelajarinya.