Bagaimana cara kerja penguraian dan penataan ulang operator eksponensial?
Saya telah melihat di beberapa sumber bahwa dengan memanggil kelompok Lie, $$e^{\alpha_1 g_1+\alpha_2 g_2 + \dots} = e^{\beta_1 g_1}e^{\beta_2 g_2}\dots $$ dimana $g_i$ adalah elemen dari Lie algbera.
Misalnya, ambil operator pemerasan dua mode dalam optik kuantum: $$e^{-\xi\hat{a}\hat{b}+\xi^*\hat{a}^\dagger\hat{b}^\dagger} = e^{-\frac{\xi^*}{|\xi|}\tanh|\xi|\hat{a}^\dagger\hat{b}^\dagger} e^{-\ln\cosh|\xi| \left(\hat{a}^\dagger\hat{a}+\hat{b}^\dagger\hat{b}+1\right)} e^{\frac{\xi}{|\xi|}\tanh|\xi| \hat{a}\hat{b}}.$$
Beberapa contoh lain adalah perpindahan dan operator pemerasan mode tunggal.
Pertanyaan saya adalah bagaimana kondisi di mana kita dapat menguraikan operator seperti ini dan juga menyusunnya kembali?
Jawaban
Bagian III dari klasik ini menggambarkan metode tersebut. Saya akan bypass matematika halus dan dipotong untuk mengejar misalnya spesifik Anda, mengambil kasus sepele ξ nyata ... Anda melakukan hal-hal umum untuk kepuasan Anda, diri sendiri, atau periksa ref di komentar @ZeroTheHero di atas.
Ini adalah identitas antara eksponensial operator. Dalam teori grup Lie, komposisi eksponensial semacam itu (elemen grup) berjumlah satu elemen grup: eksponensial dari kombinasi linier komutator bersarang dari operator ini ("aljabar Lie" lhs Anda). Semua komutator, bahkan yang tak terhingga, pada akhirnya mendekati sejumlah operator yang terbatas, aljabar Lie berdimensi-hingga. (Ada juga aljabar Lie berdimensi tak hingga, tapi jangan pergi kesana ...)
Jadi, apa aljabar Lie dalam contoh Anda? Ini su (1,1) , tapi jangan khawatir tentang itu. Saya akan memetakannya ke matriks Pauli, jadi Anda hanya perlu mengingat hubungan pergantian mereka , bahkan tidak mengetahui nama dan semacamnya dari Lie aljabar yang relevan; Anda hanya perlu mengetahui bahwa matriks-matriks ini adalah representasi tepat dari aljabar: matriks mereproduksi semua relasi pergantiannya dengan tepat.
Jadi, jelaskan $$ \sigma^+\equiv i a^\dagger b^\dagger, \qquad \sigma^-\equiv i a b, \qquad \sigma_3\equiv 1+ a^\dagger a+ b^\dagger b, $$ dan pastikan bahwa mereka mematuhi aljabar kebohongan ini, $$ [\sigma_3,\sigma^{\pm}]= \pm \sigma^{\pm}, \qquad [\sigma^+,\sigma^-]= \sigma_3. $$
- Sekarang Anda tahu matriks Pauli mematuhi aljabar Lie ini juga , jadi, jika berlaku untuk mereka$$ e^{i\xi(\sigma^-- \sigma^+)} = e^{i \tanh \xi ~\sigma^+ } e^{-\ln \cosh \xi ~ \sigma_3} e^{-i \tanh \xi ~\sigma^-} , $$ maka kombinatorik CBH akan sama untuk operator Anda juga, dan identitas Anda akan berlaku.
Memang, lhs adalah tapi $$ e^{\xi \sigma_2}= \cosh \xi ~ 1\!\!1 +\sinh \xi ~ \sigma_2~. $$ Rhs, dengan dint dari dua eksponen nilpoten dan diagonal tengah, adalah $$ (1\!\!1 + i \tanh \xi ~\sigma^+ ) ~~\operatorname{diag}(1/\cosh \xi , \cosh \xi) ~~(1\!\!1 - i \tanh \xi ~\sigma^- )\\ =\cosh \xi ~ 1\!\!1 -\sinh \xi ~ \sigma_2~, $$konjugat kompleks di atas. Hmmmm ...
Saya yakin identitas yang Anda nyatakan memiliki tanda-tanda rapuh di sisi kiri, seperti yang terlihat dengan mengambil kecil ξ dan membandingkan eksponensial yang diperluas!
Bagaimanapun, Anda mendapatkan arus ...
Periksa Prob 5 di sini untuk melihat keserbagunaan metode ini.