Bagaimana cara menampilkan $f^{-1}(0) \subset \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n$ halus

Question

Membiarkan $f : \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$jadilah peta yang mulus. Saya bertanya-tanya tentang kelancaran set$f^{-1}(0)$ di bawah kondisi berikut:

(1) Untuk semua $x \in \mathbb{R}^m$, $f^{-1}(0) \cap (\{x\} \times \mathbb{R}^n)$ halus dimensi $r$(jika tidak kosong). Dimensi tetap sama untuk semua$x$.

(2) Untuk semua $(x, y) \in f^{-1}(0)$ pembatasan proyeksi $\mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ ke kernel $df_{(x,y)}$bersifat dugaan. Dengan kata lain, untuk semua$u \in \mathbb{R}^m$ disana ada $v \in \mathbb{R}^n$ seperti yang $df_{(x,y)}(u, v) = 0$.

Kenapa $f^{-1}(0)$ submanifold halus dari $\mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n$? (Mungkin tidak, tetapi saya telah melihat klaim itu di suatu tempat, itulah mengapa saya bertanya.)

Saya mencoba menerapkan teorema transversalitas, tetapi tidak jelas bagaimana sejak itu $df_{(x,y)}$mungkin tidak surjective. Secara intuitif, menurut (1), ketidak-mulusan hanya dapat muncul pada arah melintang$\mathbb{R}^m \times \{y\}$ tapi karena $\ker df_{(x,y)} \to \mathbb{R}^m$ adalah dugaan yang tidak bisa terjadi.

Answer 1

Sepertinya salah bagi saya; mungkin saya melewatkan sesuatu, jadi harap periksa kembali ini dengan cermat.

Mengambil $m=n=1$ dan $r=0$. Membiarkan$f\colon\Bbb R\times\Bbb R\to\Bbb R$ diberikan oleh $$f(x,y)=x^2-y^2.$$ $f^{-1}(0)$ adalah setnya $|y|=|x|$, dan serat saat Anda memproyeksikan ke $x$-sumbu adalah $0$-dimensi (terputus selain asalnya). Kernel dari$df_{(x,y)}$ melompati dimensi di asalnya, tetapi kriteria dugaan Anda kemudian berlaku lebih mudah.