Bagaimana cara mendapatkan rumus istilah di $ \sum_{n=1}^\infty \frac{1\cdot4\cdot \ldots \cdot(3n+1)}{(2n+1)!!} $
Saya tersandung pada masalah ujian berikut
Uji konvergensi seri:
$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1\cdot4\cdot \ldots \cdot(3n+1)}{(2n+1)!!} $$
Jadi saya pikir setiap faktor kedua dari pembilangnya akan meniadakan setiap faktor dalam penyebut dan itu akan menghasilkan (sebenarnya tidak benar) *
$$\sum_{n=1}^\infty4\cdot10\cdot16\cdot22...$$
Dalam kasus khusus ini mungkin sudah jelas bahwa deretnya berbeda tetapi saya ingin mendapatkan rumus yang tepat sehingga saya dapat membuktikan konvergensi atau divergensi dengan kriteria / pengujian yang tepat. Dan setelah menghabiskan 10 menit untuk mencoba mengetahuinya, saya mendapatkan rumus berikut$\ 2(2+3(n+1))=6n-2$. Apa yang ternyata cukup mudah ditemukan dalam kasus khusus ini jika saya memperhatikan bahwa angka-angka itu adalah kelipatan 6 - 2.
Pertanyaan saya adalah, adakah cara yang diketahui untuk mendapatkan rumus ini dari jumlah tak hingga dan hasilkali tak hingga? Atau proses menurunkan menjadi lebih mudah hanya dengan waktu dan latihan?
Saya cukup baru dalam semua hal ini, maaf jika saya melewatkan pertanyaan yang sudah jelas.
* Seperti yang ditunjukkan oleh @ alex.jordan di komentar, saya membuat kesalahan di sana dan pembatalan tidak akan terjadi seperti yang saya jelaskan. Namun demikian, itu tidak mempengaruhi esensi pertanyaan, oleh karena itu saya akan membiarkannya tidak diedit untuk saat ini.
Jawaban
Mengubah utas komentar menjadi jawaban:
Tanpa secara eksplisit menemukan rumus tertutup untuk suku-suku tersebut, Anda masih dapat menerapkan Uji Rasio. Semua istilah positif, jadi saya akan menghilangkan menggunakan nilai absolut yang ada dalam bentuk Tes Rasio yang lebih umum.
$$ \begin{align} \frac{a_{n+1}}{a_n} &=\frac{\frac{1\cdot4\cdot \ldots \cdot(3(n+1)+1)}{(2(n+1)+1)!!}}{\frac{1\cdot4\cdot \ldots \cdot(3n+1)}{(2n+1)!!}}\\ &=\frac{1\cdot4\cdot \ldots \cdot(3(n+1)+1)}{1\cdot4\cdot \ldots \cdot(3n+1)}\cdot\frac{(2n+1)!!}{(2(n+1)+1)!!}\\ &=\frac{\require{cancel}\cancel{1\cdot4\cdot \ldots \cdot(3n+1)}\cdot(3(n+1)+1)}{\cancel{1\cdot4\cdot \ldots \cdot(3n+1)}}\cdot\frac{(2n+1)!!}{(2n+3)!!}\\ &=(3n+4)\cdot\frac{(2n+1)!!}{(2n+3)\cdot(2n+1)!!}\\ &=\frac{3n+4}{2n+3} \end{align} $$
Ekspresi ini pergi ke $\frac{3}{2}>1$ sebagai $n\to\infty$, sehingga dengan Uji Rasio, deretan aslinya berbeda.
Mempertimbangkan $$a_n=\frac{\prod_{k=0}^n (3k+1) } {(2n+1)!! }\qquad \text{and} \qquad S_p=\sum_{n=1}^p a_n$$ Pertama $S_p$mudah dihitung; mereka menghasilkan urutan$$\left\{\frac{4}{3},\frac{16}{5},\frac{88}{15},\frac{1312}{135},\frac{2528}{165},\frac {34912}{1485},\frac{31648}{891},\frac{89504}{1683},\frac{1199776}{15147},\frac{5345248}{45441}\right\}$$ yang "hampir" eksponensial.
Edit
Cepat atau lambat, Anda akan mempelajarinya $$\sum_{n=0}^\infty a_n\,x^n=\, _2F_1\left(1,\frac{4}{3};\frac{3}{2};\frac{3 }{2}x\right)$$ yang merupakan fungsi hipergeometrik gaussian yang cenderung $\infty$ kapan $x\to \frac 23$ dari bawah.
$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} &\bbox[5px,#ffd]{{1\times 4 \times \cdots \times \pars{3n + 1} \over \pars{2n + 1}!!}} = {\prod_{k = 0}^{n}\pars{3k + 1} \over \prod_{k = 0}^{n}\pars{2k + 1}} = {3^{n + 1}\prod_{k = 0}^{n}\pars{k + 1/3} \over 2^{n + 1}\prod_{k = 0}^{n}\pars{k + 1/2}} \\[5mm] = &\ \pars{3 \over 2}^{n + 1}\, {\pars{1/3}^{\overline{n + 1}} \over \pars{1/2}^{\overline{n + 1}}} = \pars{3 \over 2}^{n + 1}\, {\Gamma\pars{n + 4/3}/\Gamma\pars{1/3} \over \Gamma\pars{n + 3/2}/\Gamma\pars{1/2}} \\[5mm] = &\ {\root{\pi} \over \Gamma\pars{1/3}}\pars{3 \over 2}^{n + 1}\, {\pars{n + 1/3}! \over \pars{n + 1/2}!} \\[5mm] \stackrel{\mrm{as}\ n\ \to\ \infty}{\sim}\,\,\, & {\root{\pi} \over \Gamma\pars{1/3}}\pars{3 \over 2}^{n + 1}\, {\root{2\pi}\pars{n + 1/3}^{\ n + 5/6}\expo{-n - 1/3} \over \root{2\pi}\pars{n + 1/2}^{\ n + 1}\expo{-n - 1/2}} \\[5mm] \stackrel{\mrm{as}\ n\ \to\ \infty}{\sim}\,\,\, &\ {\root{\pi} \over \Gamma\pars{1/3}}\pars{3 \over 2}^{n + 1}\, {n^{n + 5/6}\,\bracks{1 + \pars{1/3}/n}^{\ n}\,\expo{-n - 1/3} \over n^{n + 1}\,\bracks{1 + \pars{1/2}/n}^{\ n}\,\expo{-n - 1/2}} \\[5mm] \stackrel{\mrm{as}\ n\ \to\ \infty}{\sim}\,\,\, & {\root{\pi} \over \Gamma\pars{1/3}}\, {\pars{3/2}^{n + 1} \over n^{1/6}} \,\,\,\stackrel{\mrm{as}\ n\ \to\ \infty}{\to}\,\,\, \bbx{\large \infty} \\ & \end{align}