Bagaimana cara menggunakan fungsi `Kovarian` untuk menghitung kovarian dengan benar?

Aug 18 2020

Catatan: Pertanyaan-pertanyaan berikut adalah dari pertanyaan ke-23 dari Ujian Masuk Matematika Pascasarjana Cina 2005 (set pertama):

Seharusnya $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n>2)$ adalah sampel acak sederhana dari populasi $\mathrm{N}(0,1)$, dan $\bar{X}$ adalah rata-rata sampel ($\bar{X}=\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}$), $Y_{i}=X_{i}-\bar{X}$, $i=1,2, \cdots, n $.

Sekarang kita perlu menyelesaikan masalah berikut:

(1) Varians $D Y_{i}$ dari $Y_{i}$,$i=1,2, \cdots, n $.

(2) kovarians $\operatorname{Cov}\left(Y_{1}, Y_{n}\right)$ dari $Y_{1}$ dan $Y_{n}$.

Saya gunakan n = 10sebagai kasus khusus untuk mengatasi masalah ini:

Y1 = TransformedDistribution[x[1] - Sum[x[i], {i, 1, 10}]/10, 
  Table[x[i] \[Distributed] NormalDistribution[], {i, 1, 10}]]
Variance[Y1]
Y10 = TransformedDistribution[x[10] - Sum[x[i], {i, 1, 10}]/10, 
  Table[x[i] \[Distributed] NormalDistribution[], {i, 1, 10}]]
Variance[Y10]
Covariance[Y1, Y10]
Correlation[Y1, Y10]

Tetapi kode di atas tidak bisa mendapatkan kovariansi Y1dan Y10benar (jawaban referensinya adalah$-\frac{1}{10}$). Bagaimana saya dapat menggunakan fungsi tersebut Covarianceuntuk mengatasi masalah ini?

Jawaban

3 JimB Aug 18 2020 at 11:06

Anda harus menggunakan notasi yang memisahkan variabel acak dari distribusinya. Kode berikut akan memberi Anda varian dan kovarian yang diinginkan:

n = 10; 
distY1Yn = TransformedDistribution[{x[1] - Sum[x[i], {i, 1, n}]/n, x[n] - Sum[x[i], {i, 1, n}]/n}, 
  Table[x[i] \[Distributed] NormalDistribution[], {i, 1, n}]];
Covariance[distY1Yn]
(* {{9/10, -(1/10)}, {-(1/10), 9/10}} *)
Correlation[distY1Yn]
(* {{1, -(1/9)}, {-(1/9), 1}} *)

distY1 = TransformedDistribution[x[1] - Sum[x[i], {i, 1, n}]/n, 
   Table[x[i] \[Distributed] NormalDistribution[], {i, 1, n}]];
Variance[distY1]
(* 9/10 *)

distYn = TransformedDistribution[x[n] - Sum[x[i], {i, 1, n}]/n, 
   Table[x[i] \[Distributed] NormalDistribution[], {i, 1, n}]];
Variance[distYn]
(* 9/10 *)