Bagaimana cara menggunakan fungsi `Kovarian` untuk menghitung kovarian dengan benar?
Catatan: Pertanyaan-pertanyaan berikut adalah dari pertanyaan ke-23 dari Ujian Masuk Matematika Pascasarjana Cina 2005 (set pertama):
Seharusnya $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n>2)$ adalah sampel acak sederhana dari populasi $\mathrm{N}(0,1)$, dan $\bar{X}$ adalah rata-rata sampel ($\bar{X}=\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}$), $Y_{i}=X_{i}-\bar{X}$, $i=1,2, \cdots, n $.
Sekarang kita perlu menyelesaikan masalah berikut:
(1) Varians $D Y_{i}$ dari $Y_{i}$,$i=1,2, \cdots, n $.
(2) kovarians $\operatorname{Cov}\left(Y_{1}, Y_{n}\right)$ dari $Y_{1}$ dan $Y_{n}$.
Saya gunakan n = 10
sebagai kasus khusus untuk mengatasi masalah ini:
Y1 = TransformedDistribution[x[1] - Sum[x[i], {i, 1, 10}]/10,
Table[x[i] \[Distributed] NormalDistribution[], {i, 1, 10}]]
Variance[Y1]
Y10 = TransformedDistribution[x[10] - Sum[x[i], {i, 1, 10}]/10,
Table[x[i] \[Distributed] NormalDistribution[], {i, 1, 10}]]
Variance[Y10]
Covariance[Y1, Y10]
Correlation[Y1, Y10]
Tetapi kode di atas tidak bisa mendapatkan kovariansi Y1
dan Y10
benar (jawaban referensinya adalah$-\frac{1}{10}$). Bagaimana saya dapat menggunakan fungsi tersebut Covariance
untuk mengatasi masalah ini?
Jawaban
Anda harus menggunakan notasi yang memisahkan variabel acak dari distribusinya. Kode berikut akan memberi Anda varian dan kovarian yang diinginkan:
n = 10;
distY1Yn = TransformedDistribution[{x[1] - Sum[x[i], {i, 1, n}]/n, x[n] - Sum[x[i], {i, 1, n}]/n},
Table[x[i] \[Distributed] NormalDistribution[], {i, 1, n}]];
Covariance[distY1Yn]
(* {{9/10, -(1/10)}, {-(1/10), 9/10}} *)
Correlation[distY1Yn]
(* {{1, -(1/9)}, {-(1/9), 1}} *)
distY1 = TransformedDistribution[x[1] - Sum[x[i], {i, 1, n}]/n,
Table[x[i] \[Distributed] NormalDistribution[], {i, 1, n}]];
Variance[distY1]
(* 9/10 *)
distYn = TransformedDistribution[x[n] - Sum[x[i], {i, 1, n}]/n,
Table[x[i] \[Distributed] NormalDistribution[], {i, 1, n}]];
Variance[distYn]
(* 9/10 *)