Bagaimana cara menghitung $\lim _{x\to \infty }x\sin\left(\frac{1}{\lceil{\frac{x}{2}}\rceil}\right)^x$

Question

$$\lim _{x\to \infty }x\sin\left(\frac{1}{\lceil{\frac{x}{2}}\rceil}\right)^x$$

Pikiran saya adalah menggunakan batas bilangan euler, tapi menurut saya buku "menginginkan saya" menghitungnya dengan lemma berikut:

Jika f adalah turunan dua kali dalam interval I, dengan $a \in I. \forall x \in I, f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac 12f''(z)(x-a)^2, z$ ada di antara $a$ dan $x$. Terutama,$\epsilon(x)=\frac12f''(z)(x-a)^2$

Hal lain yang saya pikirkan adalah:

$$x=2y \Rightarrow \lim _{x\to \infty }x\sin\left(\frac{1}{\lceil{\frac{x}{2}}\rceil}\right)^x= \lim _{y\to \infty }2y\sin\left(\frac{1}{\lceil{y}\rceil}\right)^{2y}\\ = \lim _{y\to \infty }2y\sin\left(\exp\left(2y\ln\left(\frac{1}{\lceil{y}\rceil}\right)\right)\right)$$

Apakah saya melalui jalan yang salah?

Answer 1

Sejak $\sin(x)\le x$ untuk semua real positif $x$:

$$\sin\left(\frac{2}{\lceil{x}\rceil}\right)\le\frac{2}{\lceil{x}\rceil}, $$

dimana

$$\frac{2}{x+1}\le \frac{2}{\lceil{x\rceil}}\le\frac{2}{x}.$$ Karena itu

$$x\left(\frac{2}{x+1}\right)^x\le x\left(\frac{2}{\lceil{x}\rceil}\right)^x\le x\left(\frac{2}{x}\right)^x,$$

dan batas Anda mengikuti teorema pemerasan.

Answer 2

$$x\sin\left(\frac{1}{\lceil{\frac{x}{2}}\rceil}\right)^x \leqslant x \left(\frac{1}{2}\right)^x$$