Bagaimana definisi ini mendefinisikan simbol $P$ di luar set simbol $S$ sebagai $S$-kalimat?
Pada p126 di §3. Ekstensi menurut Definisi dalam Interpretasi Sintaksis VIII dan Bentuk Normal Dalam Logika Matematika Ebbinghaus ' :$S$ adalah kumpulan simbol (non-logis)
3.1 Definisi. Membiarkan$\Phi$ menjadi satu set $S$-sentences.
(a) Misalkan $P \notin S$ adalah $n$simbol relasi -ary dan $\phi_P(v_0, ... , v_{n-1})$ sebuah $S$-rumus. Lalu kami katakan itu$$ \forall v_0, .... \forall v_{n-1} \quad (P v_0 ... n_{n-1} \leftrightarrow \phi_P(v_0, ... , v_{n-1})) $$ adalah $S$-definisi $P$ di $\Phi$.
Bagaimana $ \forall v_0, .... \forall v_{n-1} \quad (P v_0 ... n_{n-1} \leftrightarrow \phi_P(v_0, ... , v_{n-1})) $ Sebuah $S$-sentence atau bahkan a $S$-rumus?
$P v_0 ... n_{n-1}$ ada di sisi kiri $\leftrightarrow$. Apakah itu berasumsi$P v_0 ... n_{n-1}$ untuk menjadi $S$-rumus? Tapi$P \notin S$, jadi bagaimana bisa $P v_0 ... n_{n-1}$ menjadi a $S$-rumus?
Terima kasih.
Jawaban
Untuk menghemat beberapa tulisan, mari $\sigma$ berdiri untuk $\forall v_0, \ldots, \forall v_{n-1} (Pv_0, \ldots, v_{n-1} \leftrightarrow \phi_P(v_0, \ldots, v_{n-1}))$.
Anda benar itu $\sigma$ bukan $S$-formula, karena $\sigma$ melibatkan simbol $P$, yang tidak ada dalam $S$. Di samping itu,$\sigma$ adalah $(S \cup \{P\})$-kalimat. Itulah intinya di sini:$\sigma$ memberi tahu Anda bahwa simbol itu $P$, yang tidak ada dalam $S$, setara dengan file $S$-rumus. Istilah "$S$-definisi "mengacu pada fakta bahwa $\sigma$ mendefinisikan $P$ dengan kondisi $S$, bukan berarti itu $\sigma$ itu sendiri adalah sebuah $S$-kalimat.