bagaimana det (A) = 0 menyiratkan bahwa solusinya tidak unik? [duplikat]

Question

Solusi persamaan matriks Ax = b, dimana $$ A=\left(\begin{matrix} a_1&a_2&\dots&a_n \end{matrix}\right), \ a_i \in \mathbb{R}^n,$$

tidak unik, jika vektor $$ a_1, \ a_2, \dots, \ a_n $$bergantung secara linier. Kemudian dengan sifat determinan,$$ \det A=0. $$Namun, apakah selalu mengikuti, bahwa jika det A = 0, vektor kolom A bergantung secara linier? Bisakah seseorang memberikan bukti?

Answer 1

Satu bukti yang mungkin:

• Misalkan kolom bebas linier.
• Ubah matriks menjadi bentuk eselon kolom, mulai dari kolom terakhir dan teruskan ke belakang.
• Anda tahu jumlah kolom bebas linier adalah jumlah kolom bukan nol yang Anda hasilkan. Namun, karena Anda mengasumsikan kolom tidak bergantung, tidak ada kolom nol.
• Dengan kata lain, Anda telah mendapatkan matriks segitiga dengan semua elemen bukan nol pada diagonal. Determinannya bukan nol.
• Namun, transformasi elementer yang kita gunakan saat mengonversi matriks menjadi bentuk eselon baris / kolom tidak mengubah sifat diagonal menjadi nol atau bukan nol.
• Jadi, determinannya bukan nol untuk memulai.

Answer 2

Jika kolom pertama adalah semua $0$jelas. Jika tidak, pertimbangkan baris dengan elemen pertama$\ne 0$. Ubah sehingga menjadi baris pertama. Determinannya masih$0$, sistemnya setara dengan sebelumnya. Sekarang kurangi semua elemen di kolom pertama, lebih rendah dari baris pertama. Masih penentu$0$, sistem masih setara. Sekarang, lihat matriks yang dibentuk dengan menghapus baris dan kolom pertama. Determinan adalah$0$. Terapkan induksi, temukan solusi bukan nol$(x_2, \ldots, x_n)$. Sekarang gunakan persamaan pertama yang asli untuk mendapatkan$x_1$. Sekarang kami memiliki solusi bukan nol untuk keseluruhan sistem.