Bagaimana membuktikan pernyataan ini dalam teori himpunan?
Saya perlu membuktikan itu $((A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C)) \iff (C \subset A)$
Saat membuktikan, saya mencoba menggunakan distribusi dan memotong kedua sisi himpunan persamaan kiri $\bar{B}$. Ini bekerja untuk$\Rightarrow$, tapi tidak yakin $\Leftarrow$
Akan lebih baik untuk mendapatkan setidaknya 1 petunjuk jika pikiran saya salah. Terima kasih atas sarannya
Jawaban
Menganggap $((A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C))$ memegang dan membiarkan $x \in C$. Kemudian$x \in (A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C)$ jadi $x\in A$.
Jika $C \subset A$, kemudian $A\cap C=C$ begitu $$ A \cap (B \cup C)= (A \cap B) \cup (A \cap C) = (A \cap B) \cup C = $$
„$\Rightarrow$” $((A\cap B)\cup C)=(A\cup C)\cap (B\cup C)$ $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C$. Karena itu$A\cup C=A$, dan kami mendapatkan C di A. „$\Leftarrow$". Jika$C$ masuk $A$, kemudian $((A\cap B)\cup C)=(A\cup C)\cap (B\cup C)=A\cap(B\cup C)$, dan semuanya selesai.
$ \Leftarrow $lebih mudah. Tunjukkan jika$ x \in LHS $ kemudian $ x \in RHS $dan sebaliknya. Menggunakan fakta itu$ C \subset A $, tidak banyak kasus yang perlu dipertimbangkan.