Bagaimana menunjukkannya $a_{n+1} = \sqrt{12+4a_n}$ dibatasi atas?
Saya mencoba untuk membuktikan bahwa urutan yang diberikan oleh relasi rekursif $a_{n+1} = \sqrt{12+4a_n}$ konvergen, $a_1 = 1$.
Saya berhasil membuktikan dengan menggunakan induksi bahwa urutannya semakin meningkat .
Saya menggunakan teorema yang menyatakan itu
Jika suatu barisan monoton dan dibatasi maka ia konvergen.
Oleh karena itu, sekarang saya harus membuktikan bahwa ada batas atas
Upaya saya
Saya akan menggunakan induksi lagi.
- Untuk $n = 1: a_1 = 5 < M\in\mathbb{R}$
- Untuk $n = k: a_k < M\in\mathbb{R}$
- Untuk $n = k+1: a_{k+1} = \sqrt{12+4a_k} = 2\sqrt{3+a_k} < M \iff a_k < \frac{M^2}{2} -3 < \frac{M^2}{2} < M^2 $
Saya telah menunjukkan itu $a_{k+1}$ kurang dari itu $M^2$ sedangkan pada langkah induksi saya menyatakan itu $a_{k+1}$ kurang dari $M$. Kotak agak membingungkan saya, dan saya tidak yakin apakah saya benar-benar membuktikan batasan di sini, maka saya mengajukan pertanyaan ini
Jawaban
Catat itu $a_{k+1}=2 \sqrt{3+a_{k}}<M \iff a_{k}<\frac{M^2}{4}-3$. Maka Anda bisa melakukannya$M=\frac{M^2}{4}-3$ yang memang memberi $M=6$ sebagai solusi.
Cara untuk mengatasi masalah semacam ini biasanya sebagai berikut.
Bayangkan Anda telah membuktikan bahwa urutannya menyatu ... jadi $\lim_{n\to\infty}a_n=a\in\mathbb R$. Tidakkah Anda tertarik untuk menemukan apa$a$? Cara melakukannya adalah: dalam persamaan$a_{n+1}=\sqrt{12+4a_n}$ Anda menghitung batas sisi kiri dan kanan kapan $n\to\infty$. Anda mendapatkan:
$$a=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\sqrt{12+4a_n}=\sqrt{12+\lim_{n\to\infty}a_n}=\sqrt{12+4a}$$
begitu $a=\sqrt{12+4a}$ yang menyiratkan $a=6$.
Jadi apa yang telah Anda buktikan adalah, jika $a_n$ konvergen, itu harus konvergen $6$dan tidak ada nomor lain. Anda juga tahu itu konvergen (karena Anda tidak akan diminta untuk membuktikannya jika tidak!) Jadi mengetahui bahwa itu meningkat secara monoton, Anda segera melihatnya$a_n\lt 6$, mendekati $6$ "dari bawah", dan sebenarnya $6=\sup\{a_n:n\in\mathbb N\}$.
Jadi, mungkin ada gunanya sekarang mencoba melupakan semua yang kita katakan sampai saat ini, dan buktikan itu$a_n\lt 6$, yang akan segera berarti bahwa urutan Anda bertambah dan dibatasi secara monoton - sehingga konvergen.
Dan, memang (dibuktikan dengan induksi), $a_1=5\lt 6$ dan jika $a_n\lt 6$, kemudian $a_{n+1}=\sqrt{12+4a_n}\lt\sqrt{12+4\cdot 6}=6$.
Petunjuk: buktikan dengan induksi itu $a_n \leq 6$ untuk semua $n$.