Bagaimana menyelesaikan persamaan matriks yang berhubungan dengan rank ini
Saya melihat posting di sini untuk menyelesaikan persamaan hubungan peringkat matriks:
symbolicMatrixRank[mat_, assumptions_] := Assuming[assumptions,
Simplify @ Total @ Map[
Boole @ Simplify @ Reduce[ConditionalExpression[#, $Assumptions] != 0]&,
SingularValueList[mat]
]
];
adj[m_](*adjoint matrix*):=
Map[Reverse, Minors[Transpose[m], Length[m] - 1], {0, 1}]*
Table[(-1)^(i + j), {i, Length[m]}, {j, Length[m]}]
Reduce[symbolicMatrixRank[adj[{{a, b, b}, {b, a, b}, {b, b, a}}],
Element[a, Reals] && Element[b, Reals]] == 1]
Fungsi kustom symbolicMatrixRank
dari Sjoerd Smit besar. Tetapi saya menemukan bahwa persamaan matriks berikut tidak dapat diselesaikan dengan metode di atas:
Reduce[symbolicMatrixRank[{{a, 2*b}, {b, 2*c}, {c, 2*a}},
Element[a, Reals] && Element[b, Reals] && Element[c, Reals]] ==
symbolicMatrixRank[{{a, 2*b, -3*c}, {b, 2*c, -3*a}, {c,
2*a, -3*b}},
Element[a, Reals] && Element[b, Reals] && Element[c, Reals]] ==
2]
Bagaimana cara memperbaiki kode di atas sehingga saya bisa menyelesaikan jenis persamaan matriks?
Catatan: Pertanyaan-pertanyaan berikut ini adalah dari pertanyaan ke-10 dari Ujian Masuk Matematika Pascasarjana Cina tahun 2003 (set pertama).
Jawaban referensi dari pertanyaan ini adalah a + b + c = 0
.
Jawaban
Saya hanya berhasil mendapatkan yang ini hanya dengan mengotak-atik nilai tunggalnya sampai beberapa kombinasi Reduce
dan Simplify
menghasilkan sesuatu yang terbaca:
mat1 = {{a, 2*b}, {b, 2*c}, {c, 2*a}}
mat2 = {{a, 2*b, -3*c}, {b, 2*c, -3*a}, {c, 2*a, -3*b}}
assumptions = {a, b, c} \[Element] Reals
rank1 = Assuming[assumptions,
Total[
Boole @ Simplify @ Reduce @ Reduce[# != 0 && assumptions] & /@ SingularValueList[mat1]
]
]
rank2 = Assuming[assumptions,
Total[
Boole @ Simplify @ Reduce @ Reduce[# != 0 && assumptions] & /@ SingularValueList[mat2]
]
]
Simplify[Reduce[assumptions && rank1 == rank2], Assumptions -> assumptions]
(c! = 0 && ((a == c && b == c) || a + b + c == 0)) || (a + b == 0 && c == 0)