Batas sin kalkulus dengan dua variabel [multivariabel-kalkulus]

Question

Bagaimana cara mengatasi batas di bawah ini

$$\tag{1} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{\sin(x+y)}{x+y}?$$

Pendekatan saya:

Saya menggunakan Koordinat Kutub $x = r \cos(\theta)$ dan $y = r \sin(\theta)$

jadi (1) => $$\tag{2} \lim_{r\to 0} \frac{\sin(r (\cos(\theta) + \sin(\theta))}{r (\cos(\theta) + \sin(\theta))}.$$

Dan solusi pertama :

aku menyiapkan $w = r (\cos(\theta) + \sin(\theta)$ jadi ketika $r\to 0 $ dan $w\to 0$

(2) $\Rightarrow \lim_{w\to 0} \frac{sin(w)}{w}= 1$.

Solusi kedua : Aturan L'Hospital:

\begin{align} (2) \Rightarrow \lim_{r\to 0} \frac{(\sin(r (\cos(\theta) + \sin(\theta)))'}{(r (\cos(\theta) + \sin(\theta)))'}& = \lim_{r\to 0} \frac{\cos(r (\cos(\theta) + \sin(\theta))*(\cos(\theta) + \sin(\theta))}{\cos(\theta) + \sin(\theta)}\\ & = \lim_{r\to 0} {\cos(r (\cos(\theta) + \sin(\theta))} = \cos(0) = 1. \end{align}

Apakah pendekatan saya benar? Jika tidak dapatkah Anda memberikan solusi yang tepat?

Answer 1

Anda bisa menggunakan itu $z(x,y)=x+y$ dan $f(t)=\frac{\sin t}{t}$ adalah fungsi kontinu dan superposisinya juga kontinu.

Rudin W. - Prinsip analisis matematika- (1976) halaman 86. Teorema 4.7

Seharusnya $X,Y,Z$ adalah ruang metrik, $E \subset X$, $f$ peta $E$ ke $Y$, $g$ memetakan kisaran $f,f(E)$, menjadi $Z$, dan $h$ adalah pemetaan $E$ ke $Z$ didefinisikan oleh $h(x)=g(f(x)), x \in E$. Jika$f$ terus menerus pada intinya $p \in E$ dan $g$ terus menerus pada intinya $f(p)$, kemudian $h$ kontinu di $p$.

Answer 2

Mari kita mulai dari definisi batas multivariasi: mengatakan $\lim_{(x,\,y)\to(0,\,0)}\frac{\sin(x+y)}{x+y}=L$ setara dengan$$\forall\epsilon>0\exists\delta>0\forall(x,\,y)\left(0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta\to\left|\frac{\sin(x+y)}{x+y}-L\right|<\epsilon\right).$$Kami dapat membuktikan ini untuk $L=1$ menggunakan$$\forall\epsilon>0\exists\delta^\prime>0\forall(x,\,y)\left(0<|x+y|<\delta^\prime\to\left|\frac{\sin(x+y)}{x+y}-1\right|<\epsilon\right).$$Kami hanya perlu memilih $\delta$ istilah dari $\delta^\prime$ begitu $\sqrt{x^2+y^2}<\delta\to|x+y|<\delta^\prime$. Cukuplah untuk mengambil$\delta=\delta^\prime/2$(bukti adalah latihan); pada kenyataannya, itu saja sudah cukup$\delta=\delta^\prime/\sqrt{2}$ (bukti adalah latihan yang sedikit lebih sulit).