Bidang pecahan dari $\mathbb Z_p[[X]]$

Question

Kita tahu bahwa bidang pecahan $F:=\operatorname{Frac}(\mathbb Z_p[[X]])$secara ketat terkandung dalam bidang power series Laurent$\mathbb Q_p((X))$, Berkat ini hasil dari Gilmer. Jadi pertanyaan saya adalah:

Apakah mungkin untuk mendeskripsikan secara eksplisit elemen $F$?

Beberapa pertanyaan serupa telah ditanyakan di sini atau di Mathoverflow. Mungkin yang paling relevan adalah yang satu ini tentang penghitungan eksplisit bidang pecahan$\mathbb Z[[X]]$. Seseorang menyarankan dalam komentar dari pertanyaan terkait yang menjadi masalah$\mathbb Z_p$ (dari pada $\mathbb Z$) seharusnya lebih mudah.

Beberapa kondisi umum yang diperlukan diberikan di sini ketika koefisien deret pangkat ada di domain mana pun, tetapi saya ingin menemukan beberapa kondisi yang cukup dalam kasus tertentu$\mathbb Z_p$.

Terima kasih banyak sebelumnya

Answer 1

Katakanlah Anda memiliki deret pangkat $\sum_k a_kX^k \in \mathbb Z_p[[X]]$.

Jika bukan nol, Anda dapat menuliskannya sebagai $X^np^m\sum_k b_kX^k$ dengan $b_0 \notin (p)$.

Secara khusus, sebagai $\mathbb Z_p$ adalah lokal, $b_0$ bisa dibalik, dan sebagainya $\sum_kb_k X^k$ juga dapat dibalik: Anda hanya perlu membalik $X^np^k$

Khususnya, $\operatorname{Frac}(\mathbb Z_p[[X]]) = \mathbb Z_p[[X]] [X^{-1}, p^{-1}]$.

Jadi sebuah elemen $f\in \mathbb Q_p((X))$ masuk $\operatorname{Frac}(\mathbb Z_p[[X]])$ jika dan hanya jika $p^n$ di penyebutnya dibatasi

(deskripsi di atas menunjukkan bit "hanya jika", dan untuk "jika": jika dibatasi, dikalikan dengan $p^k$ untuk $k$ cukup besar membuat Anda mendarat $\mathbb Z_p((X))$)

Seperti yang ditunjukkan YCor di komentar pertanyaan MO tentang $\mathbb Z[[X]]$, pertanyaannya mungkin lebih mudah di lingkaran lokal secara lebih umum, meskipun di sini saya sebenarnya telah menggunakan bahwa cita-cita maksimal adalah yang utama (jadi ini bekerja di atas cincin penilaian diskrit)