Bidang perantara dari ekstensi sederhana $\mathbb{C}(x)$

Question

Membiarkan $\mathbb{C}(x)$ menjadi bidang fungsi rasional di atas $\mathbb{C}$. Tentu saja$\mathbb{C}(x)$ adalah ekstensi bidang $\mathbb{C}$. Pertanyaan saya sekarang adalah: apakah ada bidang perantara di antaranya$\mathbb{C}$ dan $\mathbb{C}(x)$? Jika ya, apa yang dapat kita katakan tentang dimensinya? Apakah itu selalu tidak terbatas?

Answer 1

Ringkasan komentar (tidak termasuk hasil reun yang harus mereka posting secara terpisah!) Di bawah $K$ singkatan dari bidang intermediae arbitrer yang berada di antara keduanya, $\Bbb{C}\subset K\subset\Bbb{C}(x)$.

1. Karena $\Bbb{C}$ditutup secara aljabar, tidak memiliki ekstensi algbera. Karenanya tidak ada ekstensi yang terbatas. Karena itu$[K:\Bbb{C}]=\infty$.
2. Di sisi lain, jika $u=f(x)/g(x)$ adalah elemen sewenang-wenang dari $K\setminus\Bbb{C}$, $f,g\in\Bbb{C}[x]$, kemudian $x$ adalah nol dari polinomial $$ P(T):=f(T)-g(T)u\in K[T]. $$ Karena itu $x$ aljabar berakhir $K$. Karenanya$[K(x):K]<\infty$. Tapi,$K(x)=\Bbb{C}(x)$, jadi kita bisa menyimpulkan itu $[\Bbb{C}(x):K]<\infty$. Tidak ada lagi yang bisa dikatakan, karena kita dengan mudah melihatnya$[\Bbb{C}(x):\Bbb{C}(x^n)]=n$ untuk setiap bilangan bulat positif $n$, sehingga tingkat ekstensi bisa sangat tinggi.
3. Dengan teorema Lüroth setiap bidang perantara$K$ sebenarnya adalah perpanjangan transendental sederhana dari $\Bbb{C}$. Dengan kata lain,$K$ aku s $\Bbb{C}$-isomorfik ke $\Bbb{C}(x)$.