Bidang residu komposit dua bidang

Jan 04 2021


[Pertanyaan]

saya tahu itu $K'\cdot K''$ adalah ekstensi yang tidak dibatasi $K$ tapi saya tidak tahu kenapa $K'\cdot K''$ memiliki bidang residu $k'$.

apakah selalu benar itu $K_1\cdot K_2$ memiliki bidang residu $k_1 \cdot k_2$? (dimana$k_1,k_2$ adalah bidang residu dari $K_1, K_2$)

Saya pikir jika kita membuktikan proposisi 7,50, maka kita dapat menggunakan " $K_1\cdot K_2$ memiliki bidang residu $k_1 \cdot k_2$" dalam situasi ini.

Namun, kami tidak dapat menggunakan fakta itu sambil membuktikan proposisi ini.

Bagaimana saya bisa membuktikan ini?

Terima kasih atas perhatian Anda.

referensi ( Teori Nomor Aljabar JS Milne ) dan posting ini 1 : Penalaran aneh dari ekstensi yang tidak dibatasi memiliki bidang residu yang sama adalah sama.

Jawaban

2 reuns Jan 04 2021 at 01:53

Untuk $K/\Bbb{Q}_p$ ekstensi yang terbatas kemudian $F/K$ tidak dibatasi iff $F=K(\zeta_n)=K(\zeta_{q-1})$ dengan $p\nmid n$ dan $q= |O_F/(\pi_F)|$. Ini adalah aplikasi utama lemma Hensel.

Kapan $E/K,E'/K$ bercabang maka tidak selalu terjadi bidang residu $EE'$ adalah bidang terkecil yang berisi $E,E'$, coba dengan $E=\Bbb{Q}_2(2^{1/3}),E'=\Bbb{Q}_2(\zeta_3 2^{1/3})$.

Kapan $E'/K$ kemudian tidak dibatasi $EE'=E(\zeta_{q-1})$ memiliki bidang residu $O_E/(\pi_E)(\zeta_{q-1})$.