Bisa model standar $\sf ZFC$ berisi semua ordinal tanpa transitif?
Yang saya maksud dengan model standar ZFC adalah model ZFC yang dapat berupa himpunan atau kelas yang tepat dan yang hubungan unsurnya adalah hubungan unsur yang sebenarnya. Sebuah transitif model ZFC adalah model standar ZFC yang juga kelas transitif. Dengan lemma kehancuran Mostowski, setiap model standar ZFC adalah isomorfik, melalui isomorfisme unik, ke model transitif unik ZFC. Pertanyaan saya adalah, dapatkah seseorang selalu "membatalkan" model transitif ZFC ke model standar tetapi non-transitif dari ZFC? Misalnya, apakah ada model standar non-transitif dari ZFC isomorfik ke model dalam minimal$L$? Dan juga, apakah ada model standar non-transitif ZFC yang berisi semua ordinal yang isomorfik ke model dalam minimal$L$?
Sunting: Mengingat komentar membantu yang dibuat (jawaban untuk dua pertanyaan pertama adalah ya), satu-satunya pertanyaan yang tersisa adalah yang terakhir: Apakah ada model standar non-transitif ZFC yang berisi semua ordinal yang isomorfik hingga bagian dalam minimal model $L$? Jika tidak, maka$L$bukan hanya model bagian dalam minimal, ini adalah model standar minimal yang berisi semua ordinal. Secara lebih umum, apakah ada model standar non-transitif ZFC yang berisi semua ordinal?
Jawaban
Saya telah menghapus jawaban saya sebelumnya karena salah, seperti yang ditunjukkan oleh Rodrigo Freire di komentar.
Nyatanya, dimungkinkan untuk memiliki model non-transitif yang ordinalnya merupakan segmen awal ordinal. Katakan itu$M$ adalah model transitif seperti itu $M\neq V_\alpha$ untuk apapun $\alpha\in\rm Ord\cup\{Ord\}$ (dimana $V_{\rm Ord}$hanya seluruh alam semesta). Lalu ada yang terkecil$\alpha$ seperti itu $\alpha\in M$ dan $\mathcal P(\alpha)^M\neq\mathcal P(\alpha)$.
Menetapkan $N$ menjadi model yang diperoleh dengan mengganti secara rekursif $\mathcal P(\alpha)^M$ oleh $\mathcal P(\alpha)$, atau bahkan hanya menambahkan satu set baru ke koleksi ini. Kemudian$N$ adalah model standar, ordinalnya adalah segmen awal dari ordinal, tetapi tidak transitif.
Jika kita ambil $M=L$ dan $V\neq L$, maka tentu saja kita bisa mendapatkan model $V=L$ yang mana bukan $L$.
Asaf Karagila telah menjawab pertanyaan tersebut, tetapi saya telah memikirkan tentang hasil parsial untuk minimalitas $L$ ke arah jawaban sebelumnya, seperti yang ditanyakan oleh Jesse Elliot di paragraf terakhirnya.
Pertama, maafkan saya untuk mengatakan bahwa menurut saya teori himpunan belum banyak menggunakan model standar (dalam pengertian pertanyaan ini) karena model tersebut isomorfik ke model transitif. Jadi, kami tidak terlalu terbiasa dengan mereka. Namun, pada kenyataannya sangat mudah untuk "membuka" model transitif$M$: ambil sebuah elemen $a\in M$ dan menggantinya secara transitif dengan $a\cup \left\{a\right\}$. Jika$a$ bukan ordinal, maka model standar yang dihasilkan akan menggunakan ordinal $M$.
Sekarang, pada arah yang lebih positif, mari kita selidiki hasil minimalitas parsial untuk $L$:
-Membiarkan $M\subseteq L$menjadi model standar sedemikian rupa sehingga ordinalnya adalah ordinal nyata. Kemudian$M=L$ iff pesanan yang dapat dibangun $Od$ (lihat Shoenfield, ML, halaman 272) adalah mutlak untuk $L^M$.
bukti: Pertama perhatikan itu$L^M=\left\{x\in M : (x\in L)^M\right\}$adalah model standar yang ordinalnya adalah ordinal nyata. Jika$L^M$ bersifat transitif, maka itu akan mencakup $L$, karenanya $M$ akan sama dengan $L$. Jadi, mari kita asumsikan$L^M$ tidak transitif.
Membiarkan $K$ menjadi keruntuhan transitif $L^M$. Gambar$K$ adalah model transitif dari $ZF$ berisi semua ordinal dan terkandung dalam $L$, begitulah $L$. Membiarkan$x$ menjadi counterexample minimal untuk transitivitas $L^M$. Kemudian$K(x)\neq x$, jadi $Od(K(x))\neq Od(x)$ (ingat itu $M\subseteq L$, karenanya $Od$ didefinisikan untuk semua elemen $M$dan suntik). Sejak$K$ adalah isomorfisme dari $L^M$ untuk $L$, $K(Od^{L^M}(x))=Od(K(x))$. Dari hipotesis kemutlakan,$Od^{L^M}(x)=Od(x)$.
Karena itu,
$K(Od(x))=K(Od^{L^M}(x))=Od(K(x))\neq Od(x)$,
begitu $Od(x)$ adalah ordinal yang digerakkan oleh $K$. Ini adalah kontradiksi dengan hipotesis bahwa ordinalnya$M$ persis ordinal.