Bisakah 1 kilogram bahan radioaktif dengan waktu paruh 5 tahun meluruh dalam satu menit?
Saya bertanya-tanya ini karena guru saya memberi tahu kami tentang waktu paruh bahan radioaktif di sekolah. Tampaknya intuitif bagi saya untuk berpikir seperti ini, tetapi saya bertanya-tanya apakah ada penjelasan yang lebih dalam yang membuktikan bahwa saya salah.
Ketika banyak atom yang terlibat, paruh dapat bertahan secara statistik, tetapi karena peluruhan suatu atom benar-benar acak dan tidak memiliki kewarganegaraan, tidak dapat semua atom dalam 1 kg materi memutuskan untuk meluruh di menit berikutnya, bahkan jika kemungkinannya peristiwa ini terjadi sangat kecil?
Jawaban
Jawaban singkatnya adalah ya . Tidak peduli berapa banyak atom yang ada, selalu ada kemungkinan (terkadang sangat kecil) bahwa semuanya akan membusuk di menit berikutnya. The menyenangkan Jawabannya sebenarnya melihat seberapa kecil kemungkinan ini mendapat untuk sejumlah besar atom.
Mari kita ambil yodium-131 , yang saya pilih karena memiliki waktu paruh yang masuk akal$8$ hari = $\text{691,200}$detik. Sekarang$1$ kg yodium-131 akan memiliki sekitar $7.63 \times N_A$ atom di dalamnya, di mana $N_A$adalah konstanta Avogadro. Menggunakan rumus probabilitas peluruhan atom dalam waktu$t$:
$$ P(t) = 1-\exp(-\lambda t), $$
dan mengasumsikan bahwa semua peluruhan independen secara statistik$^\dagger$, probabilitas bahwa semua atom akan meluruh dalam satu menit adalah:
$$ (1-\exp(-\lambda \times 60\,\text{s}))^{7.63\times N_A} $$
dimana $\lambda$ adalah konstanta peluruhan, sama dengan $\frac{\ln 2}{\text{half-life}}$, dalam hal ini, hampir persis $10^{-6}\,\text{s}^{–1}$. Begitu$$ P = (1-\exp(-6\times10^{-5}))^{7.63\times N_A} \\ \approx(6\times10^{-5})^{7.63\times N_A} \\ \approx (10^{-4.22})^{7.63\times N_A} \\ = 10^{-4.22\times7.63\times N_A} \\ \approx 10^{-1.94\times10^{25}} $$
(Saya memilih yodium-131 sebagai contoh konkret, tetapi hampir semua atom radioaktif akan menghasilkan probabilitas yang sama, tidak peduli berapa massa atau waktu paruhnya.) Jadi, jika Anda melakukan percobaan ini $10^{1.94\times10^{25}}$pengaturan seperti itu, Anda akan mengharapkan semua atom membusuk di salah satu pengaturan, secara rata-rata.
Untuk memberi Anda gambaran tentang betapa besarnya angka ini, hanya ada " $10^{78}$ atom di alam semesta - itu $1$ diikuti oleh $78$ nol. $10^{1.94\times10^{25}}$ aku s $1$diikuti oleh lebih dari satu juta miliar miliar nol. Saya lebih suka bertaruh pada kuda.
$^\dagger$ Model distribusi Poisson ini adalah penyederhanaan, tetapi mungkin perkiraan kasar dalam skenario ini, karena bahkan penyimpangan kecil dari independensi statistik dapat menambahkan hingga faktor penekan yang besar mengingat jumlah atom, dan sebagainya. $10^{1.94\times10^{25}}$ sudah pasti batas atas (tentu saja, aproksimasi sepenuhnya dibenarkan jika atom dipisahkan hingga tak terhingga di $0 \text{ K}$, atau produk pembusukannya tidak memiliki cukup energi untuk menghasilkan lebih dari a $1/N_A$perubahan -order dalam probabilitas peluruhan atom lain). Analisis yang lebih rinci harus disesuaikan secara khusus dengan isotop yang dipertimbangkan - atau perkiraan orde berikutnya dapat dibuat dengan membuat konstanta peluruhan$\lambda$fungsi waktu yang semakin meningkat . Yakinlah bahwa probabilitas yang sebenarnya, meskipun jauh lebih sulit untuk dihitung daripada estimasi belakang amplop ini, masih akan masuk ke wilayah yang sangat besar.$1$ di $1$ diikuti beberapa triliun angka nol.
TLDR: model statistik adalah model, dan dengan demikian menurut definisi bukan cerminan sempurna dari kenyataan.
Jawaban Nihar bagus tapi saya akan membahasnya dari arah yang berbeda.
Pertama, jika kita hanya melihat mekanika statistik Anda dapat menjalankan matematika dan tentu saja Anda akan menemukan probabilitas yang sangat kecil. Anda mungkin berhenti di situ. Tetapi mekanika statistik menggunakan model statistik, dan semua model salah. Mereka membuat asumsi dan perlu menyederhanakan kenyataan untuk memecahkan masalah yang rumit. Mungkin saja ada beberapa proses fisik yang belum ditemukan dalam mekanika statistik yang meniadakan kemungkinan peluruhan yang begitu cepat.
Contoh klasik adalah memiliki sebuah ruangan dan mencari tahu probabilitas bahwa semua oksigen secara tiba-tiba hanya ada di satu setengah ruangan. Dari sudut pandang mekanika stat, pada dasarnya ini adalah kemungkinan untuk membalik koin yang adil berkali-kali dan membuat semuanya mendarat dengan cara yang sama. Namun pada kenyataannya, angka kecil yang tak terbayangkan yang akan Anda hitung sebenarnya tidak benar, karena asumsi yang dibuat oleh model Anda tidak akan secara sempurna mencerminkan kenyataan (partikel berinteraksi satu sama lain, untuk satu). Sama seperti hukum gas ideal, hal-hal ini berguna tetapi bisa sepenuhnya gagal jika Anda menyimpang terlalu jauh dari asumsi yang dibuat. Ini berlaku untuk semua model statistik, tentu saja.
Jadi, jika kita berasumsi bahwa model statistik paruh adalah representasi realitas yang sepenuhnya akurat, jawaban atas pertanyaan Anda secara teknis adalah ya. Tentu saja kita tahu itu tidak benar, jadi itu membawa saya ke poin terakhir saya.
Ada juga komponen filosofis yang berat untuk pertanyaan semacam ini karena kita berurusan dengan probabilitas yang sangat kecil sehingga secara efektif 0. Jika seseorang membalik koin satu miliar kali dan jatuh buntut setiap kali tidak ada yang akan berpikir itu adalah koin yang adil , karena jelas bukan *. Anda juga dapat mempertimbangkan kriptografi canggih. Peluang untuk berhasil menebak kunci secara acak sangat rendah sehingga untuk semua maksud dan tujuan, nilainya 0. Atau bayangkan menonton video dari sekumpulan kaca pecah yang membentuk vas. Kesimpulan Anda bukanlah 'lihat ya termodinamika, tidak mau jadi ya', melainkan 'Saya menonton video vas pecah secara terbalik'. Ya, secara teknis ada kemungkinan kecil yang terkait dengan peristiwa-peristiwa ini tetapi sangat kecil sehingga mengatakan bahwa hal itu mungkin secara teknis lebih merupakan pernyataan filosofis daripada apa pun.
* Ide koin yang adil adalah lubang kelinci itu sendiri. Bagaimana Anda menentukan bahwa koin itu adil? Dengan melemparkannya beberapa kali dan mengamati jumlah ekor dan kepala yang hampir sama. Jika terlalu banyak menyimpang dari 50/50, kami menyatakannya sebagai bias. Tapi tentu saja tidak peduli hasil apa yang kita amati, selalu ada kemungkinan itu adalah koin yang adil, jadi secara teknis kita tidak pernah tahu pasti. Untuk menggunakan statistik, kita harus secara sewenang-wenang memilih titik potong untuk peluang acak. Biasanya ini adalah 2 sigma, mungkin 3. CERN menggunakan 5 sigma untuk deteksi partikel baru tetapi sekali lagi, ini sewenang-wenang. Statistik terapan adalah seni sekaligus cabang matematika.
Satu hal yang perlu diingat adalah bahwa ini bukan hanya pertanyaan statistik dan analogi atom yang membusuk dan membalik koin bisa menyesatkan.
Misalnya, uranium 235 memiliki waktu paruh lebih dari 700 juta tahun, tetapi ketika dibawa dalam konfigurasi yang tepat (dikemas rapat) dan dalam jumlah yang tepat (di atas massa kritis), ia membusuk secara praktis dalam sekejap ... Hanya karena satu peluruhan atom dapat memicu peluruhan lainnya dan seterusnya dalam reaksi berantai.
Jadi, jika Anda dapat mengasumsikan bahwa semua pembusukan terjadi secara independen satu sama lain, maka jawaban yang hanya berdasarkan statistik adalah valid. Jika lebih banyak fisika daripada statistik yang terlibat, maka itu tergantung pada materi yang tepat, yaitu materi apa, apakah itu murni, dalam konfigurasi apa, dll.
Jawabannya adalah tidak'. 'Tidak' ini pada level yang sama seperti:
- Mungkinkah Anda mengapung selama 15 menit di tengah ruangan Anda. (Mekanika statistik mengatakan secara teknis ya, tetapi sekali lagi dengan a untuk semua tujuan praktis probabilitas nol)
- Bisakah Anda meletakkan monyet di depan mesin tik dan mengeluarkan novel Shakespeare darinya?
- Bisakah Anda berjalan melalui dinding yang kokoh (probabilitas terowongan bukan nol karena mekanika kuantum)
Agar itu terjadi di dunia nyata, Anda perlu mulai dengan sekitar 3,8 juta kilogram bahan itu.
Inilah cara Anda mendapatkan nomor itu. Anda mulai dari rumus yang menghubungkan waktu paruh ke jumlah partikel dari waktu ke waktu
$$ N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^\frac{t}{t_{1/2}} $$
Sekarang Anda ganti $N(t)$ dengan apa yang ingin Anda miliki $$ N_0 - 1~\text{kg} = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^\frac{t}{t_{1/2}} $$ Dan Anda memecahkannya $N_0$ $$ N_0 = \frac{1~\text{kg}}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{t}{t_{1/2}}}$$ Pada titik ini, tinggal masalah menghubungkannya $t=60~\text{s}$ dan $t_{1/2}=5~\text{y}$.
Saya melihat bahwa orang-orang di situs ini sebagian besar tampaknya berpikir Anda bisa mengalikan angka bersama untuk mendapatkan probabilitas, dan dengan demikian jawabannya adalah probabilitas adalah sesuatu yang teratur $10^{-10^{25}}$.
Masalahnya adalah bahwa peristiwa peluruhan tidak sepenuhnya peristiwa independen, jadi metode penghitungan ini salah. Tidak apa-apa sebagai perkiraan pertama yang SANGAT kasar, dan jawabannya pasti angka kecil, tetapi jawabannya bukan angka kecil ini. Anda akan melihat dengan membaca mengapa saya meletakkan huruf "sangat" kedua di ibu kota.
Ada efek kooperatif di seluruh fisika. Misalnya, dalam padatan yang membusuk, partikel yang dipancarkan oleh salah satu inti akan mengganggu yang lain. Ini adalah efek kecil, tetapi ketika kita mempertimbangkan peristiwa dengan probabilitas kecil, kita harus memikirkan efek sekecil itu. Faktor lain adalah medan elektromagnetik di sekitarnya, yang mungkin dalam keadaan termal, tetapi bahkan dalam keadaan vakumnya menghasilkan efek berkorelasi di seluruh sampel. Medan elektromagnetik hampir tidak berpengaruh pada peluruhan radioaktif, tetapi segala sesuatu yang dapat mempengaruhi semua inti sekaligus akan memiliki pengaruh yang tidak dapat diabaikan dibandingkan dengan bilangan kecil yang muncul dari asumsi bahwa semua inti berperilaku secara independen.
Mari kita dapatkan perasaan kasar tentang pengaruh efek kooperatif ini. Untuk$n$ peristiwa independen, masing-masing kemungkinan $p_0$, probabilitas keseluruhannya adalah $p_0^n$. Tetapi anggaplah jika satu peristiwa terjadi, maka probabilitas untuk peristiwa lainnya meningkat sedikit, dari$p_0$ untuk $p_1 = p_0(1 + \epsilon)$ untuk beberapa yang sangat kecil $\epsilon$. Jika kejadian selanjutnya itu independen maka sekarang probabilitas keseluruhannya adalah teratur$p_0 p_1^{n-1}$. Ini lebih besar dari$p_0^n$ dengan rasio $$ \frac{p_0 (p_0 + \epsilon p_0)^{n-1}}{p_0^n} = (1 + \epsilon)^{n-1} $$ Dengan $n$ dari urutan bilangan Avogadro, Anda dapat melihat nilai tersebut $\epsilon$ dari urutan $1/N_A$ akan cukup untuk memperkenalkan peningkatan yang tidak dapat diabaikan dalam probabilitas keseluruhan, di mana dengan "yang tidak dapat diabaikan" yang saya maksudkan dengan faktor urutan $1$Tapi kemungkinan keseluruhan tetap kecil.
Itu hanya satu atom yang mempengaruhi yang lain. Jika masing-masing memiliki efek semacam itu, maka salah satunya akan mendapat$(1 + \epsilon)$ faktor yang dinaikkan ke kekuatan keteraturan $N_A^2$. Jadi dengan argumen semacam ini jumlahnya$10^{-10^{25}}$ yang saya mulai dengan salah oleh faktor yang bisa dengan mudah menjadi sebesar $2^{N_A}$. Saya tidak mencoba menyatakan ketidaktepatan dengan hati-hati. Saya hanya mengatakan bahwa berdasarkan perhitungan$N_A$ proses independen memberikan jawaban akhir yang salah karena faktor yang sangat besar.
Mari kita pertimbangkan beberapa jenis efek kooperatif seperti fluktuasi medan elektromagnetik yang cukup untuk merangsang semua inti, cukup untuk membawanya melewati penghalang energi sehingga elektron atau partikel alfa atau apa pun bisa lepas. Untuk mengganggu inti seseorang membutuhkan energi orde mega-elektron volt, sedangkan pada suhu kamar radiasi termal memiliki foton energi orde.$k_B T \simeq 0.026$eV. Tetapi jika kita mempercayai faktor Boltzmann maka kita mungkin memperkirakan secara kasar kemungkinannya$\exp(-E/k_B T)$ untuk mendapatkan eksitasi mode energi $E$. Dengan$E = 1$ MeV yang memberi $\exp(-4 \times 10^7)$pada suhu kamar. Dengan "semua" foton sinar gamma di sekitar, proses peluruhan radioaktif akan terjadi sedikit berbeda. Tentu saja probabilitas ini sangat kecil, tetapi jauh lebih besar dari$10^{-10^{25}}$, jadi harus dipertimbangkan sebelum mengumumkan bahwa angka terakhir itu bahkan mendekati kanan. Ini karena bahkan jumlah terkecil dari korelasi atau efek kooperatif apa pun akan cukup untuk membanjiri probabilitas beberapa peristiwa independen.
Seseorang dapat memperkirakan efek dari sinar gamma termal ini dengan mencari penampang melintang untuk peluruhan yang dirangsang oleh gamma dan melakukan perhitungan hamburan. Saya tidak tahu jawabannya tetapi itu akan sangat besar dibandingkan dengan$10^{-10^{25}}$.
Singkatnya, jawaban singkat untuk pertanyaan awal yang diajukan adalah "tidak, itu tidak mungkin terjadi". Jawaban yang lebih panjang kemudian mengakui bahwa fisika menunjukkan bahwa ada kemungkinan bukan nol yang sangat sangat kecil bahwa hal itu bisa terjadi, seperti yang ada untuk sejumlah kejadian aneh lainnya. Untuk nilai probabilitas, tidak ada perhitungan cepat yang bisa mendekati urutan besaran yang benar. Untuk memperkirakannya, pertama-tama orang melakukan kalkulasi peluruhan independen untuk meyakinkan diri sendiri bahwa itu bukan rute yang paling mungkin untuk terjadi. Kemudian yang tersisa dengan masalah yang jauh lebih sulit untuk memikirkan efek fisik macam apa yang dapat menyebabkan beberapa inti membusuk sekaligus, dan memperkirakannya. Saya pikir jawabannya pasti kecil dibandingkan dengan angka itu$\exp(-4 \times 10^7)$yang saya sebutkan di atas, tetapi saya memiliki sedikit gagasan tentang apa probabilitas sebenarnya. Mungkin serendah$10^{-10^{10}}$?
Mungkin bermanfaat untuk menekankan kembali poin yang saya buat. Ketika kita menghitung skenario fisik yang lebih biasa, seperti benda yang meluncur menuruni lereng atau pendulum atau atom dll., Kita dengan benar mengabaikan efek yang dapat diabaikan seperti tarikan gravitasi ke planet beberapa tahun cahaya atau hal semacam itu, dan fokus pada faktor utama. kontribusi. Dengan cara yang sama, dalam kasus ini pendekatan yang benar hanya akan mengenali sebagai dapat diabaikan kontribusi probabilitas karena semua inti yang terjadi peluruhan pada menit yang sama, dan fokus pada probabilitas yang jauh lebih besar terkait dengan cara lain di mana hasil bisa terjadi. Perhitungan yang tidak melakukan ini sebenarnya salah. Ini seperti menyatakan bahwa waktu adalah urutan 1 femtosecond padahal sebenarnya itu adalah urutan 1 petasecond. Itu tidak akan dianggap sebagai perkiraan yang masuk akal, tetapi salah, dan dengan faktor yang sangat besar.
Jika kita ingin memahami apa yang terjadi dalam proses dunia nyata, bukan model ideal, maka proses dunia nyata adalah apa yang harus kita pikirkan.
Terakhir, saya ingin menekankan kembali bahwa efek yang telah saya sebutkan memang semakin kecil. Namun dibandingkan dengan$10^{-10^{25}}$ mereka sangat besar.
@Nihar memiliki jawaban yang sangat bagus: Itu mungkin tetapi dengan peluang 1 masuk $10^{1.94\times10^{25}}$
Itu adalah jumlah yang sangat besar. Saat Anda menggunakan eksponen yang perlu direpresentasikan dengan eksponennya sendiri, terkadang sulit untuk memikirkan apa sebenarnya artinya. untuk beberapa perspektif:
- Ada sekitar $5\times10^{19}$ atom dalam sebutir pasir
- Ada sekitar $8\times10^{18}$ butiran pasir di dunia
- Itu tentang $4\times10^{38}$ atom di semua pasir di dunia
- Ada sekitar $1.33\times10^{50}$ atom dari semua jenis di dunia
- Ada sekitar $10^{56}$ atom di tata surya
- Ada diantara $10^{78}$ dan $10^{82}$ atom di alam semesta
Menggunakan perkiraan terbesar $1\times10^{82}$atom di alam semesta, kita hanya berubah dari eksponen 19 menjadi 82 membandingkan sebutir pasir dan seluruh alam semesta. Eksponen ini adalah 1.940.000.000.000.000.000.000.000.000.
Berapa banyak percobaan yang harus kita lakukan untuk mendapatkan kesempatan yang masuk akal ini terjadi? Rumus untuk mengetahui kemungkinan terjadinya peristiwa acak setidaknya sekali adalah$1-(1-P)^y$ dimana P adalah probabilitas $1/{10^{1.94\times10^{25}}}$. Saya tidak dapat menemukan aplikasi apa pun yang akan memberikan hasil yang sensual dengan nilai y yang besar, tetapi jika y = P maka peluangnya mendekati${-(1-e)}/e$saat P menjadi besar. Itu sekitar 63,2%. Jadi jika kita melakukannya$10^{1.94\times10^{25}}$ percobaan, ada sekitar 63,2% kemungkinan itu terjadi setidaknya sekali dan sekitar 37,8% kemungkinan itu tidak terjadi sama sekali.
Jadi bagaimana kita bisa membayangkan melakukan $10^{1.94\times10^{25}}$ percobaan?
Jika kita mengambil semua atom di alam semesta dan mengubahnya menjadi bundel yodium-131 1 kg yang terpisah, kita akan memiliki sekitar $2.2\times10^{57}$dari mereka. Tersebar di atas volume alam semesta yang terlihat ($3.57\times10^{80} m^3$), masing-masing satu paket $1.6\times10^{23}$meter kubik, itu adalah kubus dengan panjang 57.000 kilometer per sisi dengan 1 kg iodium-133 di tengahnya. Umur alam semesta diperkirakan sekitar 13,772 miliar tahun$7.24\times10^{15}$menit. Jika kita mengambil semua bundel yodium-133 dan menjalankan kembali percobaan kita setiap menit (mengubah atom yang membusuk kembali menjadi yodium-131 untuk setiap percobaan) dari big bang sampai sekarang, itu saja$1.6\times10^{73}$ percobaan individu.
Eksponen 73 itu tidak mendekati eksponen yang kita butuhkan untuk mencapai peluang 63,2% untuk hal itu terjadi. Harus ada$2.66\times10^{23}$ alam semesta atom yang diubah menjadi yodium-131 menjalankan kembali percobaan setiap menit selama 13,777 miliar tahun untuk memiliki kesempatan 63,2% terjadi setidaknya sekali.
Untuk memahami ini, Anda perlu melihat apa yang memicu peluruhan nuklir. Jawabannya adalah contoh bagus dari perilaku mekanik kuantum. Tidak ada yang memicunya. Hanya saja dunia pada dasarnya mekanis kuantum, dan probabilistik.
Semua jawaban lain bahwa "tidak, tidak ada peristiwa pemicu, itu terjadi begitu saja, mekanika kuantum seperti itu" adalah benar.
Apa yang terjadi sebelum unsur radioaktif meluruh?
Yang dapat Anda lakukan hanyalah menghitung probabilitas.
Jadi, jawaban atas pertanyaan Anda adalah, ya, ada kemungkinan bukan nol untuk materi membusuk di menit berikutnya.
Tetapi pertanyaan Anda lebih lanjut tentang apakah ada kemungkinan bahwa semua atom dalam material meluruh secara bersamaan di menit berikutnya. Dan jawabannya adalah ya, ada kemungkinan bukan nol untuk itu terjadi, tetapi itu terjadi begitu saja sehingga kemungkinannya sangat kecil, bahkan pada skala waktu raksasa seperti usia alam semesta kita, ada kemungkinan yang sangat kecil bagi kita untuk mengamati itu terjadi.