Bisakah kita memiliki kekekalan momentum tanpa kekekalan energi?

Question

Menurut teorema Noether, jika Hamiltonian tidak berubah dalam terjemahan dalam arah tertentu, maka momentum linier yang sesuai akan dipertahankan. Dan jika Hamiltonian tidak bergantung pada waktu, maka total energi akan kekal.

Mengikuti logika ini, seharusnya dimungkinkan untuk memiliki Hamiltonian yang merupakan invarian terjemahan tetapi tidak invarian waktu, katakanlah $H(p,q,t) = p^2/2 + V(t)$ dimana $V$ adalah beberapa fungsi saja $t$. Kemudian momentum, bukan energi, akan menjadi besaran yang kekal. Haruskah ini berlawanan dengan intuisi atau mengejutkan sama sekali, atau apakah ini hanya konsekuensi biasa dari bagaimana kita mendefinisikan Hamiltonian? Dan apakah properti seperti itu memiliki relevansi dengan masalah dunia nyata?

Answer 1

Hanya menambahkan fungsi $V(t)$ bagi Hamiltonian tidak melakukan apa pun - persamaan gerak hanya melibatkan turunan dari Hamiltonian wrt $q$ dan $p$, dan ini tidak mengubah apa pun tentang sistem, Anda hanya memilih Hamiltonian yang lebih aneh untuknya. Energinya tetap terjaga, hanya saja tidak lagi sama dengan nilai Hamiltonian.

Teorema Noether bukan tentang invariansi Hamiltonian , ini tentang invarian aksi , dan dalam aksi penambahan fungsi waktu murni ke integrand adalah penjumlahan dari turunan waktu total (dari integral tak tentu dari fungsi yang ditambahkan ), yang tidak mengubah perilaku varians yang dipedulikan oleh Teorema Noether.

Jika Anda benar-benar menginginkan sistem di mana momentum dikekalkan tetapi energinya tidak, Anda perlu menambahkan fungsi $V(p,t)$ momentum dan waktu di sini, tetapi sistem dunia nyata biasanya tidak bekerja seperti itu - hampir semua Hamiltonian yang berguna berbentuk $p^2 + V(q,t)$ sebaliknya, dimana $V(q,t)$ adalah potensi medan gaya yang mungkin berubah-ubah waktu.

Jika Anda memiliki lebih dari satu posisi $q^i$, lalu Anda juga dapat membuat varian waktu tetapi menghemat momentum dengan menambahkan fungsi $V(\lvert q^i - q^j\rvert, t)$ke Hamiltonian. Saya belum pernah benar-benar melihat ini dilakukan tetapi contoh mainan mungkin berupa dua perangkat yang menjadi terisi daya seiring waktu - gaya Coulomb di antara mereka akan menjadi bentuk ini. Energi tidak kekal karena ada arus masuk muatan dan karenanya potensial listrik, tetapi momentum dilestarikan, karena hanya dua benda yang menarik / menolak satu sama lain tanpa melibatkan gaya lain.