Bukti bahwa urutan metrik-Cauchy = urutan seminorm-Cauchy pada ruang Fréchet?

Question

Saya mencoba membuktikan pernyataan berikut dari buku Spectral Theory and Quantum Mechanics oleh V. Moretti:

Sebuah urutan $\{x_n\}_{n\in N} \subset X$ adalah Cauchy dari kejauhan $d$ di ruang metrisable cembung lokal $X$ jika dan hanya jika Cauchy untuk setiap seminorm $p$ menghasilkan topologi: untuk setiap $\epsilon > 0$ ada $N_\epsilon^{(p)} \in \mathbb N$ seperti yang $p(x_n −x_m ) < \epsilon$ kapanpun $n,m > N_\epsilon^{(p)} $. Akibatnya, kelengkapan sebenarnya tidak bergantung pada jarak yang digunakan untuk menghasilkan topologi konveks lokal.

Bagaimana kita bisa membuktikannya?

---

Jika urutannya Cauchy for $d$, maka akhirnya akan berada di beberapa bola $B_{d,\delta}(x)$ untuk apapun $\delta>0.$ Entah bagaimana kita perlu menggunakan fakta ini untuk menunjukkan bahwa pada akhirnya akan ada di beberapa bola $B_{p,\epsilon}(y)$ untuk perbaikan apapun $p\in P,\epsilon>0.$ Saya yakin hasilnya akan diandalkan $d$ dan $P$menghasilkan topologi yang sama, tetapi saya tidak melihat cara menghubungkan keduanya. Kami selalu dapat menumpuk set terbuka metrik dalam set terbuka seminorm, dan sebaliknya, tetapi ini masih tidak membawa saya ke solusi yang jelas.

Postingan ini berisi bukti bahwa kelengkapan metrik apa pun yang menghasilkan topologi yang sama$P$menjamin kelengkapan semua metrik tersebut. Tetapi pernyataan di sini melibatkan seminorms, jadi ini bukan klaim yang setara, dari apa yang bisa saya katakan.

Answer 1

Saya berasumsi bahwa metrik adalah invarian terjemahan. Membiarkan$(x_n)$ jadilah Cauchy dalam metrik dan $\epsilon >0$. Jika$p$ adalah semi norma yang menghasilkan topologi $\{x: p(x) <\epsilon\}$ berisi semua terbuka $B_d(0,\delta)$. Untuk$n,m$ cukup besar $x_n-x_m \in B_d(0,\delta)$ dan karenanya $p(x_n-x_m) <\epsilon$.

Converse mengikuti dari fakta itu $B_d(0,\epsilon)$ berisi satu set tipe $\{x:p_i(x) <\epsilon_i, 1\leq i \leq N\}$ untuk beberapa bilangan bulat positif $N$, beberapa nomor posotif $\epsilon_i$ dan beberapa $p_i$'s.