Bukti non-trigonometri: $|AD|^2=|AB|\cdot |AC|-|DB|\cdot |DC|$.

Aug 18 2020

Pertanyaan ini sudah pernah ditanyakan sebelumnya, tetapi jawabannya memberikan solusi yang melibatkan trigonometri dan teorema Stewart yang ingin saya hindari.

Dalam segitiga $\triangle ABC$, garis-bagi sudut dari titik $A$ berpotongan $\overline {BC}$ tepat $D$. Membuktikan:$|AD|^2=|AB|\cdot |AC|-|DB|\cdot |DC|$.


Pendekatan saya:

Membiarkan $c$ menjadi lingkaran sunat $\triangle ABC$ dan biarkan $E$ menjadi persimpangan garis $AD$ dan lingkaran $c$.

Kami mendapatkan yang berikut:

$\begin{aligned}\measuredangle ABC=\measuredangle AEC\ \land\ \measuredangle EAB=\measuredangle CAE&\implies\boxed{\triangle ABD\sim\triangle AEC}\\&\implies\frac{|AC|}{|AE|}=\frac{|AD|}{|AB|}\\&\implies|AB|\cdot|AC|=|AD|\cdot(|AD|+|DE|)=|AD|^2+|AD|\cdot|DE|\\&\implies\boxed{ |AD|^2=|AB|\cdot|AC|-|AD|\cdot|DE|}\end{aligned}$

Di samping itu:

$\begin{aligned}\measuredangle CBE=\measuredangle CAE\ \land\ \measuredangle EDB=\measuredangle ADC&\implies\boxed{\triangle DBE\sim\triangle ADC}\\&\implies\frac{|BD|}{|AD|}=\frac{|DE|}{|DC|}\\&\implies\boxed{|BD|\cdot|DC|=|AD|\cdot|DE|}\end{aligned}$

Akhirnya,

$|AD|^2=|AB|\cdot|AC|-|AD|\cdot|DE|=|AB|\cdot|AC|-|BD|\cdot|DC|$

Gambar:


Bolehkah saya bertanya apakah ini valid? Jika ya, adakah yang bisa saya lakukan untuk meningkatkan bukti saya?

Terima kasih sebelumnya!

Jawaban

5 StinkingBishop Aug 18 2020 at 16:28

Perhatikan langkah kedua ($|BD|\cdot|DC|=|AD|\cdot|DE|$adalah teorema terkenal ( Teorema Akord Berpotongan ), jadi sebaiknya Anda merujuk ke teorema ini daripada membuktikannya sendiri. Selain itu, bukti ini benar-benar valid, dan karena sangat singkat, saya tidak dapat melihat bagaimana ini bisa diperbaiki.