Bukti Proposisi 11.20 dari Atiyah-Macdonald
Saya berjuang dengan memverifikasi ketidaksetaraan urutan kutub yang ditegaskan dalam bukti proposisi 11.20. (Pernyataan lengkap dan bukti proposisi dapat ditemukan di sini: Atiyah-Macdonald 11.20 dan 11.21 )
Pertanyaan saya adalah: bagaimana membuktikan ketidaksetaraan ini?
Saya menemukan beberapa sumber online yang mencakup berbagai masalah dengan buku ini, tetapi saya tidak menemukan apa-apa tentang masalah khusus ini. Saya pikir akan bermanfaat jika beberapa referensi tentang hal ini tersedia juga, karena jawaban yang berwawasan dapat membantu siapa saja yang mencoba mempelajari subjek dari buku ini.
Jika ini menarik, saya mendasarkan upaya saya sendiri pada asumsi tambahan berikut:
- $d((A/\mathfrak{q})[t_1,...,t_d]/(\bar{f}))$ harus mengacu pada urutan tiang seperti yang lainnya $d$ (derajat polinomial karakteristik) ditentukan hanya untuk cincin lokal.
- Struktur bertingkat cincin ini adalah $\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}$, dimana $\bigoplus A_n$ adalah penilaian standar $(A/\mathfrak{q})[t_1,...,t_d]$.
EDIT: Saya kira masalahnya tidak cukup jelas kecuali ada yang cukup dalam di buku, jadi saya akan memberikan ringkasan singkat dari hasil yang relevan yang ditemukan di Bab 11 hingga (11.20): Untuk cincin bertingkat Noetherian$A$ dihasilkan sebagai $A_0$-aljabar oleh $s$ unsur homogen derajat 1, Teorema (11.1) menyatakan bahwa deret Poincaré $P(M,t) = \sum^\infty_{n=0}\lambda(M_n)t^n$ dari setiap gradasi yang dihasilkan secara tak terbatas $A$-modul $M$ memiliki tiang keteraturan $d(M)\leq s$ di $t=1$. Ini memberikan batas atas untuk$d(A)$ saat mengambil $M=A$. Namun, ketidaksetaraan dalam (11.20) memperkenalkan batas bawah untuk$d((A/\mathfrak{q})[t_1,...,t_d]/(\bar{f}))$. Batas bawah tatanan kutub muncul di awal teks hanya dalam bentuk persamaan, yaitu dalam kasus yang sangat khusus bahwa cincin bergradasi adalah cincin bergradasi terkait.$G_\mathfrak{q}(A)$ dari cincin lokal Noetherian $A$wrt. sebuah$\mathfrak{m}$ideal-primer $\mathfrak{q}$ [urutan tiang $G_\mathfrak{q}(A)$ dalam hal ini sama dengan redup $A$]. Karenanya kesulitannya terletak pada kurangnya hasil untuk menentukan batas bawah tatanan tiang.
Jawaban
Membiarkan $\bigoplus A_n$ menjadi penilaian standar $(A/\mathfrak{q})[t_1,\dots,t_d]$. Homomorfisme cincin bertingkat$\bigoplus A_n \to \bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}$ bersifat surjective dan memiliki kernel $(\bar{f})$, karenanya $\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}$ adalah penilaian dari $(A/\mathfrak{q})[t_1,\dots,t_d]/(\bar{f})$. $\alpha$ menginduksi peta $\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s} \to \bigoplus \mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}$ sejak $(\bar{f}) \subseteq \textrm{Ker}(\alpha)$, dan jadi kami mendapatkan homomorfisme dugaan berikut dari cincin bertingkat: $$ \bigoplus A_n \to \bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s} \to \bigoplus \mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}. $$ Catat itu $A_n/\bar{f}A_{n-s}$ dan $\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}$ adalah $A/\mathfrak{q}$-modul untuk semua $n$ (asumsi $s > 0$), dan karena itu harus memiliki panjang yang terbatas $A/\mathfrak{q}$adalah Artin. Sejak$\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}$ adalah citra homomorfik dari $A_n/\bar{f}A_{n-s}$, kami juga punya itu $l(\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}) \leq l(A_n/\bar{f}A_{n-s})$. Akhirnya amati itu sejak$\bigoplus A_n$ dihasilkan sebagai $A/\mathfrak{q}$-aljabar oleh $t_1,\dots,t_d$, dua cincin lainnya dihasilkan oleh gambar masing-masing ini. Karena gambar-gambar ini semuanya homogen pada derajat 1, kita dapatkan dari (11.2) bahwa untuk semua besar$n$, $l(\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1})$ adalah polinomial $g(n)$ derajat $d(\bigoplus \mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}) - 1$ dan $l(A_n/\bar{f}A_{n-s})$ adalah polinomial $h(n)$ derajat $d(\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}) - 1$. Sekarang sejak$$g(n) = l(\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}) \leq l(A_n/\bar{f}A_{n-s}) = h(n)$$ untuk semua yang besar $n$, kita harus memilikinya $\deg g(n) \leq \deg h(n)$, jadi $$ d(\bigoplus \mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}) = \deg g(n) + 1 \leq \deg h(n) + 1 = d(\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}) $$ yang membuktikan ketidaksetaraan.