Buktikan bahwa produk topologi di $\Bbb C^n$ sama dengan yang biasa

Question

Jadi sudah diketahui dengan baik bahwa fungsinya $\tau_n:\Bbb C^n\times\Bbb C^n\rightarrow\Bbb C$ ditentukan oleh kondisi

1. $\tau_n(x,y):=\sum_{i=1}^n x_i\overline y_i$

untuk apapun $x,y\in\Bbb C^n$adalah produk batin. Jadi saya meminta untuk membuktikan bahwa produk topologi di$\Bbb C^n$ diinduksi oleh produk dalam $\tau_1$ sama dengan topologi $\tau _n$seperti yang didefinisikan di atas. Saya tunjukkan bahwa saya memerlukan hasil ini untuk menunjukkan bahwa fungsi linier antara dua ruang vektor topologi adalah kontinu dan untuk menunjukkan bahwa semua topologi dalam ruang vektor topologi berdimensi hingga adalah setara dan dengan demikian saya dengan sopan meminta untuk tidak memberikan apa yang baru saja dikatakan sebagai menjawab. Jadi bisakah seseorang membantu saya?

Answer 1

Topologi produk dihasilkan oleh norma

$$N_\infty(x)=\max(\vert x_1\vert, \dots \vert x_n\vert)$$ dimana $\vert x \vert = \sqrt{\tau_1(x,x)}$. Menandakan

$$N_2(x) = \sqrt{\tau_n(x,x)}$$ kita punya

$$1/\sqrt{n}N_\infty(x) \le N_2(x) \le \sqrt{n} N_\infty(x)$$ yang memungkinkan untuk menyimpulkan hasil yang diinginkan.