Buktikan bahwa selisih luas lingkaran dan segi banyak lebih besar daripada selisih luas bidang lingkaran dan segi banyak.

Question

Masalahnya bisa dengan ekuivalen dinyatakan sebagai

MASALAH: Cembung$n$ poligon bersisi memiliki lingkaran keliling dan lingkaran bertuliskan, luasnya $B$, dan daerah lingkaran sirkit dan bertuliskan adalah $A$ dan $C$masing-masing. Buktikan itu$2B < A+C$.

Menurut saya masalah ini sangat sulit. Ini adalah upaya saya untuk kasus khusus poligon yaitu Poligon beraturan .

Penamaan parameter:

$R$ menjadi jari-jari lingkaran luar poligon.
$r$ menjadi inradius poligon.
$n$ menjadi jumlah sisi poligon. $\theta$ = $\frac{2\pi}{n}$ = sudut ditubuhkan oleh sisi poligon di tengah.
$a$ menjadi panjang sisi poligon.

Hubungan antara $R,r,a,\theta$ :

$R^2 = \frac{a^2}{4} + r^2$, $a = 2R*sin(\frac{\theta}{2})$ dan $r = R*cos(\frac{\theta}{2})$

Kami perlu membuktikan $2B < A+C$
$\Leftrightarrow \frac{2sin(\theta)}{3+cos(\theta)} < \frac{\pi}{n}$

Ini dapat dibuktikan dengan menunjukkan bahwa, ketidaksetaraan memang benar $n = 3 $ dan LHS menurun lebih cepat dari RHS.

Metode yang saya gunakan untuk poligon biasa tidak berlaku untuk semua. Ada terlalu banyak kebebasan dan ambiguitas. Tapi saya tidak punya ide untuk menangani poligon umum. Adakah yang bisa membantu saya?

Answer 1

Sebenarnya sederhana saja. Jika keliling bentuk cembung Anda adalah$P$, maka ketidaksetaraan Anda setara dengan: $$\pi(r^2+R^2) > Pr,$$ dimana $R$ dan $r$adalah circumradius dan inradius, masing-masing. Batas atas yang sepele di perimeter adalah:$$P < 2\pi R$$dimana yang terakhir adalah panjang lingkaran sirkit. Tapi sekarang AM-GM sederhana menyelesaikan masalah:

$$Pr < 2\pi Rr < \pi(r^2+R^2)$$