Buktikan itu $2^{n-1}(a^n+b^n)\geq(a+b)^n$ [duplikat]
Saya mencoba untuk membuktikan untuk tujuan algoritma yang diberikan $a,b,n$ bilangan bulat positif: $$2^{n-1}(a^n+b^n)\geq(a+b)^n$$ Saya mencoba dengan induksi, dan mendapatkan langkah sebagai berikut: $$2^{n}(a^{n+1}+b^{n+1})\geq^?(a+b)^{n+1}$$ Saya mencoba menggunakan ekspansi binomial $(a+b)^n=\sum^n_{k=0} {{n}\choose{k}}a^kb^{n-k}$ dan kemudian mengecualikan elemen terakhir $$(a+b)^{n+1}=\sum^{n+1}_{k=0} {{n+1}\choose{k}}a^kb^{n-k+1}=\sum^{n}_{k=0} {{n+1}\choose{k}}a^kb^{n-k}b+{{n+1}\choose{n+1}}a^{n+1}b^0$$$$=\sum^{n}_{k=0} (n+1){{n}\choose{k}}a^kb^{n-k}b+{{n+1}\choose{n+1}}a^{n+1}b^0=[(n+1)b]\sum^{n}_{k=0}{{n}\choose{k}}a^kb^{n-k}+{{n+1}\choose{n+1}}a^{n+1}b^0$$$$=[(n+1)b](a+b)^n+a^{n+1}\leq[(n+1)b]\times2^{n-1}(a^n+b^n)+a^{n+1}$$ Dengan asumsi bahwa semuanya sudah benar sejauh ini, saya tidak tahu bagaimana melanjutkan dari sana untuk mendapatkannya $\leq 2^n(a^{a+1}+b^{n+1})$
Upaya kedua saya adalah dengan melakukan langkah-langkah sebagai berikut: $$2^{n-1}(a^n+b^n)\geq(a+b)^n \setminus\cdot(a+b)$$ $$2^{n-1}(a^n+b^n)(a+b)\geq(a+b)^{n+1}$$ $$2^{n-1}(a^{n+1}+b^{n+1}+a^nb+b^na)\geq(a+b)^{n+1}$$ Sekarang saya tidak tahu bagaimana cara menghilangkannya $a^nb+b^na$, dan untuk melanjutkan ke $2^n$
Apakah ada cara lain untuk membuktikan ini? Atau ada petunjuk untuk melanjutkan langkah saya?
Jawaban
Dari ketidaksetaraan penataan ulang, kami memiliki yang berikut: $$a^n+b^n\geq a^i\cdot b^{n-i}+a^{n-i}\cdot b^i$$
$$(a+b)^n=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}a^ib^{n-i}\leq\frac{a^n+b^n}{2}\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}$$
yang persis seperti yang Anda inginkan