Buktikan keberadaan dan keunikan untuk masalah Cauchy

Aug 20 2020

Saya butuh bantuan untuk membuktikan keberadaan dan keunikan masalah Cauchy berikut ini:

\ mulai {kasus} y '' + e ^ {x} y = 0 \\ y (0) = 1 \\ y '(0) = 0 \ end {kasus}

Ini dapat disusun kembali sebagai sistem urutan pertama di mana $f$ didefinisikan sebagai $$f(x,y)=[-e^x y , y]^T$$

Untuk membuktikan eksistensi dan keunikan (lokal), saya perlu tunjukkan itu $f$ adalah Lipschitz wrt lokal $y$, (ini adalah RHS dari ODE)

Saya menghitung:

$$\left|| f(x,y_1)-f(x,y_2) \right|| = \left|| [e^x (y_2 - y_1),y_1 - y_2]^T \right|| = (y_2 - y_1)^2 \Bigl( 1 + e^{2x} \Bigr) = \left|| y_1 - y_2\right|| \Bigl( 1 + e^{2x} \Bigr) $$

Maka untuk $|x| < a$ (yaitu di lingkungan $x_0=0$ saya sudah $$\Bigl( 1 + e^{2x} \Bigr)\leq1+e^{2a}$$, jadi ini secara lokal Lipschitz ( tapi tidak secara global )

Apakah semuanya benar?

Jawaban

1 S-Erase Aug 20 2020 at 01:05

Anda mendapatkan fungsinya $f(x,y)$salah. Yang perlu Anda lakukan adalah menentukan variabel ketiga untuk dijadikan sebagai turunan pertama$y$. Fungsi yang Anda inginkan adalah$$f([y,y']^T,x) = [y',-e^xy]^T$$. Ini adalah fungsi yang ingin Anda tunjukkan adalah Lipschitz.

1 JJacquelin Aug 20 2020 at 04:51

$$\frac{d^2y}{dx^2}+e^x y=0$$ Perubahan variabel:$\quad e^x=t\quad\implies\quad \frac{dt}{dx}=t$

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=t\frac{dy}{dt}$

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d\frac{dy}{dx}}{dt}\frac{dt}{dx}=(\frac{dy}{dt}+t\frac{d^2y}{dt^2})t=t^2\frac{d^2y}{dt^2}+t\frac{dy}{dt}$ $$t^2\frac{d^2y}{dt^2}+t\frac{dy}{dt}+ty=0$$ $$\frac{d^2y}{dt^2}+\frac{1}{t}\frac{dy}{dt}+\frac{1}{t}y=0$$Ini adalah persamaan Bessel yang solusinya terkenal. Lihat Persamaan (6) dan (7) di:https://mathworld.wolfram.com/BesselDifferentialEquation.html $$y(t)=c_1J_0\big(2\sqrt{t}\big)+c_2Y_0\big(2\sqrt{t}\big)$$ $J_0$ dan $Y_0$adalah fungsi Bessel dari jenis pertama dan kedua masing-masing. Solusi umum ODE adalah:$$y(x)=c_1J_0\big(2e^{x/2}\big)+c_2Y_0\big(2e^{x/2}\big)$$ Koefisien $c_1$ dan $c_2$ ditentukan sesuai dengan kondisi $y(0)=1$ dan $y'(0)=0$ yang mengarah ke solusi unik: $$y(x)=\frac{Y_1(2)J_0\big(2e^{x/2}\big)-J_1(2)Y_0\big(2e^{x/2}\big)}{Y_1(2)J_0(2)-J_1(2)Y_0(2)}$$