Bundel lini pada skema produk

Aug 18 2020

Membiarkan $k$ menjadi ladang, $X$ menjadi variasi lengkap $k$, $V$ menjadi subvarietas terbuka $X$, $Y$ menjadi skema berakhir $k$. Seharusnya$L$ adalah bundel baris $V\times Y$. Jika$L|_{V\times\lbrace y\rbrace}$ meluas ke bundel baris $X\times\lbrace y\rbrace$ untuk setiap poin tertutup $y$ dari $Y$, apakah bundel baris $L$ meluas ke $X\times Y$?

Bagaimana jika diasumsikan kondisi yang lebih kuat, yaitu untuk setiap functor $\phi\colon\operatorname{Pic}(V\times Y) \to \operatorname{Pic}(V)$ (sini $\operatorname{Pic}$ menunjukkan fungsi Picard), bundel garis $\phi(L)$ di $V$ meluas ke $X$. Apakah$L$ meluas ke $X\times Y$?

Edit: $X$ dianggap halus yaitu varietas lengkap yang halus.

Jawaban

1 JasonStarr Aug 19 2020 at 15:52

Selamat datang kontributor baru. Ini tidak benar, bahkan jika$X$halus. Salah satu contoh memungkinkan peran$X$ dan $Y$ dalam contoh saya sebelumnya.

Membiarkan $X$ menjadi kurva projektif yang halus, terhubung secara geometris, dari genus $g>0$. Membiarkan$f:X\to Y$ menjadi normalisasi kurva nodal dengan satu simpul $p$ itu adalah $k$titik -rasional. Contohnya,$Y$ bisa menjadi kuartik bidang nodal, dan $X$ bisa menjadi normalisasi (genus $3$melengkung). Asumsikan bahwa preimage dari$\{p\}$ di $X$ terbelah, yaitu $\{r',r''\}$ untuk $k$poin -rasional $r',r''$ dari $X$.

Membiarkan $V$ menjadi pelengkap terbuka $\{r',r''\}$ di $X$. Tunjukkan morfisme grafik batasan$f$ untuk $V$ sebagai berikut, $$\Gamma:V\to V\times Y.$$ Gambar morfisme grafik ini adalah pembagi utama Cartier di $V\times Y$. Dilambangkan dengan$L$ berkas yang bisa dibalik $V\times Y$ terkait dengan pembagi Cartier ini.

Mundurnya pembagi Cartier ini ke $V\times X$ meluas ke pembagi Cartier di $X\times X$. Setiap ekstensi seperti itu dalam bentuknya$$D_{c',c''} = \underline{\Delta} + \text{pr}_1^*\left(c' \underline{r'} + c''\underline{r''}\right).$$

Untuk masing-masing pembagi Cartier yang diperluas ini, pembatasan berakhir $X\times \{r'\}$ dan berakhir $X\times \{r''\}$tidak setara secara rasional. Memang, jika memang demikian, maka$\underline{r'}$ dan $\underline{r''}$ akan setara secara rasional, sehingga genus $g$ sama $0$. (Ini adalah alasan saya untuk bekerja dengan kurva mulus dari genus positif.) Sejak$X\times X$halus, homomorfisme dari kelompok kelas kesetaraan rasional pembagi Cartier ke kelompok Picard adalah isomorfisme. Jadi, setiap berkas yang bisa dibalik$X\times X$ yang memperpanjang mundurnya $L$ memiliki batasan non-isomorfik $X\times\{r'\}$ dan berakhir $X\times\{r''\}$. Oleh karena itu masing-masing diperpanjang berkas pembalik$X\times X$adalah tidak isomorfis dengan mundurnya suatu berkas dibalik pada$X\times Y$.

Edit . Pada contoh di atas, untuk setiap sampul Zariski$Y'\to Y$, hasil yang sama berlaku. Namun, ada sampul étale$Y'\to Y$ sedemikian rupa sehingga berkas pembalik memanjang $X\times Y'$. Untuk contoh di mana tidak ada ekstensi seperti itu bahkan setelah sampul étale, alih-alih membiarkan$X\to Y$menjadi normalisasi kurva nodal, mari adalah normalisasi kurva cuspidal. Kemudian konstruksi yang sama menghasilkan berkas yang bisa dibalik$L$ di $V\times Y$ sedemikian rupa sehingga untuk setiap sampul étale $Y'\to Y$, tidak ada perpanjangan dari berkas yang dapat dibalik menjadi $X\times Y'$.