Contoh isomorfisme Lie algebras

Jan 05 2021

Saya mencari contoh Aljabar Kebohongan isomorf. 2 aljabar adalah isomorf, jika terdapat fungsi linier bijektiva$g_1 \rightarrow g_2$ yang memetakan semua $X,Y \in g_1$ Suka $\phi([X,Y]) = [\phi(X),\phi(Y)]$.

Jadi 2 Lie aljabar yang bisa saya pikirkan akan menjadi hasil perkalian silang ${\rm I\!R}^3$ dan aljabar komutator dari bidang vektor invarian kiri tetapi saya tidak dapat memikirkan fungsi yang memetakannya seperti yang saya nyatakan sebelumnya.

Jawaban

4 TorstenSchoeneberg Jan 05 2021 at 14:11

Contoh, diurutkan secara kasar dari gampang susah:

  1. Membiarkan $\mathfrak g$menjadi aljabar Lie. Peta identitas$x \mapsto x$ adalah isomorfisme dari $\mathfrak g$ untuk dirinya sendiri.

  2. Membiarkan $V$, $W$ menjadi ruang vektor di atas bidang $k$, dan tentukan tanda kurung Lie sebagai $[v_1, v_2] = 0$ dan $[w_1,w_2]=0$ untuk semua $v_1,v_2 \in V$, $w_1,w_2 \in W$. Tunjukkan bahwa Lie aljabar$V$ dan $W$ (dengan tanda kurung ini) isomorfik jika dan hanya jika $V$ dan $W$memiliki dimensi yang sama. (Ini seharusnya hanya pemeriksaan Anda memahami isomorfisme ruang vektor, dasar absolut dari aljabar linier.)

  3. Membiarkan $k$ menjadi bidang apapun dan $\mathfrak{gl}_n(k)$ aljabar kebohongan yang diberikan oleh semua $n \times n$-matrices berakhir $k$, dengan kurung Lie yang diberikan oleh komutator matriks $[A,B]:= A\cdot B-B\cdot A$ (dimana $\cdot$adalah perkalian matriks biasa). Membiarkan$g$menjadi apapun yang bisa dibalik $n\times n$-matriks selesai $k$, yaitu elemen $\mathrm{GL}_n(k)$. Tunjukkan bahwa peta$$ A \mapsto g\cdot A \cdot g^{-1}$$ adalah isomorfisme dari $\mathfrak{gl}_n(k)$untuk dirinya sendiri, yaitu morfisme otomatis dari$\mathfrak{gl}_n(k)$.

  4. Membiarkan $\mathfrak{gl}_n(k)$menjadi seperti pada contoh sebelumnya. Peta yang mengirimkan setiap matriks ke transpos negatifnya,$$ A \mapsto -A^T$$ adalah isomorfisme dari $\mathfrak{gl}_n(k)$untuk dirinya sendiri, yaitu morfisme otomatis dari$\mathfrak{gl}_n(k)$.

  5. Membiarkan $k$ menjadi bidang apapun, $c \in k^\times$, $\mathfrak g_1$ dua dimensi $k$-vektor ruang dengan dasar $v_1, v_2$ dan braket Lie $[v_1, v_2] = v_2$. Membiarkan$\mathfrak g_2$ menjadi dua dimensi lain $k$-vektor ruang dengan dasar $w_1,w_2$ dan $[w_1,w_2]= c\cdot w_2$. Temukan isomorfisme dari Lie aljabar$\mathfrak g_1$ dan $\mathfrak g_2$.

  6. Membiarkan $\mathfrak g_1$ dan $\mathfrak g_2$ menjadi seperti pada contoh sebelumnya, kecuali bahwa sekarang kurung Lie aktif $\mathfrak g_2$ diberikan oleh $[w_1,w_2] = a w_1 + c w_2$ dimana $c \in k^\times$ dan $a \in k$. Sekali lagi temukan isomorfisme$\mathfrak g_1 \simeq \mathfrak g_2$. (Untuk contoh ini dan sebelumnya, lih. Mengklasifikasikan Aljabar 1- dan 2- dimensi, hingga Isomorfisme , Cara mendapatkan isomorfisme eksplisit (didefinisikan secara eksplisit) antara dua aljabar Lie nonabelian berdimensi$2$, Aljabar Kebohongan Dua Dimensi , Aljabar Kebohongan Dua Dimensi - apa yang kita ketahui tanpa mengetahui Braket? )

  7. Membiarkan $k$ menjadi bidang karakteristik apa pun $\neq 2$, $\mathfrak{sl}_2(k) := \{ A \in \mathfrak{gl}_n(k): Tr(A)=0\}$ aljabar Lie tanpa jejak $2 \times 2$-matrices (dengan braket Lie diberikan seperti pada contoh 3). Membiarkan$\mathfrak{so}_3(k) := \{ \pmatrix{a&0&-f\\0&-a&-e\\e&f&0} : a,e,f \in k \}$ ("bentuk terpisah dari $\mathfrak{so}_3$") juga dengan kurung Lie yang diberikan oleh komutator matriks. Temukan isomorfisme antara dua aljabar Lie ini. (Bandingkan aljabar Lie ini$\mathfrak{o}_3(\mathbb{C})$ dan $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$, Buktinya langsung$\mathfrak{so}(3)_{\mathbb C}\simeq\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)$, Isomorfisme Eksplisit Antara Aljabar Lie Ortogonal Tiga Dimensi dan Aljabar Lie Linear Khusus Dimensi$3$ dan tautan di dalamnya.)

  8. Membiarkan $\mathfrak{su}_2 := \{\pmatrix{ai&b+ci\\-b+ci&-ai} : a,b,c \in \mathbb R \}$ (subruang nyata tiga dimensi dari $2 \times 2$matriks kompleks); yakinkan diri Anda bahwa lagi dengan kurung Lie yang diberikan oleh komutator matriks (seperti pada contoh 3), ini adalah aljabar Lie. Tunjukkan itu isomorfik untuk$\mathbb R^3, \times$yaitu aljabar Lie tiga dimensi nyata dengan tanda kurung siku yang diberikan oleh perkalian silang. (Bandingkan Mengapa ada faktor$2$ dalam isomorfisme $\operatorname{Lie}(S^3)\cong\mathbb{R}^3$? . Ini sepertinya yang Anda singgung dalam pertanyaan.)

  9. Temukan isomorfisme antara $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C) \oplus \mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$ dan skew-simetris $4\times 4$ matriks selesai $\mathbb C$. (Cf. Isomorfisme eksplisit antara aljabar Lie ortogonal empat dimensi dan jumlah langsung aljabar Lie linier khusus dimensi 3. )

  10. Temukan isomorfisme antara penjumlahan langsung dari simetris-miring $3 \times 3$ matriks nyata dengan dirinya sendiri, dan$4 \times 4$matriks simetris-miring nyata. (Cf. Isomorphism between$\mathfrak o(4,\mathbb R)$ dan $\mathfrak o (3,\mathbb R) \oplus\mathfrak o (3,\mathbb R) $)

  11. Untuk $\mathfrak g$aljabar Lie yang nyata, perluasan / kompleksifikasi skalar $\mathbb C \otimes \mathfrak g$ adalah aljabar Lie kompleks dengan tanda kurung Lie yang diberikan oleh ekstensi bilinear dari $[a \otimes x, b \otimes y]:=ab\otimes [x,y]$. Mudah: Tunjukkan bahwa kerumitan$\mathfrak{sl}_2(\mathbb R)$ isomorfik untuk $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$. Lebih keras: Untuk$\mathfrak{su}_2$ seperti yang didefinisikan dalam contoh 8, menunjukkan bahwa kompleksifikasi tersebut $\mathbb C \otimes \mathfrak{su}_2$ juga isomorfik $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$. Bonus: Tunjukkan bahwa meskipun demikian, aljabar Lie yang asli$\mathfrak{sl}_2(\mathbb R)$ dan $\mathfrak{su}_2$yang tidak isomorfis satu sama lain. (Bandingkan hubungan yang tepat antara kerumitan$\mathfrak{su}(2)$, $\mathfrak{so}(1,3)$ dan $\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})$, Apakah kompleksifikasi aljabar Lie$\mathfrak g_{\mathbb C}$ setara dengan struktur aljabar Lie di $\mathfrak g\oplus \mathfrak g$? , dan mungkin lebih banyak lagi.)

Selain itu, cobalah isomorfisme aljabar Finding Lie .