Dapatkan jumlah urutan dari jumlah suku ganjilnya.
Saya ingin menghitung jumlahnya $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} $$ dengan menggunakan rangkaian Fourier $f(x)=|x|$ lebih $(-\pi,\pi)$. Koefisien$b_k$ adalah semua $0$ karena $f$genap. Melakukan hal-hal integrasi, saya memperoleh:$$ a_0 = \pi $$ dan $$ a_k = \frac{2}{k^2}\bigg((-1)^k-1\bigg) $$ untuk $k>0$. Persamaan Parseval memberikan:$$ \frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^\infty (a_k^2+b_k^2)= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f^2dx $$ yang memberikan $$ \frac{\pi^2}{2} + \sum_{k=1}^\infty \frac{4}{\pi^2k^4}(2-2(-1)^k) = \frac{2}{3}\pi^2 $$ yang disederhanakan menjadi $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} - \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k^4} = \frac{\pi^4}{48} $$ yang pada dasarnya mengatakan: $$ \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^4}=\frac{\pi^4}{96} $$ ada ide bagaimana mendapatkan jumlah dari sana?
Jawaban
Perhatikan bahwa apa yang Anda miliki adalah itu $2\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{(2k+1)^4}=\frac {\pi^4}{48}$. Panggilan$\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{k^4}=S$ kamu punya itu $\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{(2k)^4}=\frac 1{16} S$ dan akhirnya Anda memilikinya $S-\frac 1{16}S=\frac 12 \frac {\pi^4}{48}$ dari mana $S=\frac {\pi^4}{90}$
Anda pada dasarnya memiliki
$${\frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + ... = \frac{\pi^4}{96}}$$
Anda ingin mencari
$${\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ... = ?}$$
dengan kata lain, Anda ingin menambahkan
$${\frac{1}{2^4} + \frac{1}{4^4} + ...}$$
Memfaktorkan a ${\frac{1}{2^4}}$ pada hasil di atas
$${\frac{1}{2^4}\left(\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ...\right)}$$
Jadi secara keseluruhan, jika Anda menelepon ${S=\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ...}$ kamu punya
$${\left(\frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + ...\right) + \left(\frac{1}{2^4} + \frac{1}{4^4} + ...\right) = S}$$
$${\Rightarrow \frac{\pi^4}{96} + \frac{1}{2^4}S = S}$$
Bisakah Anda sekarang mengatur ulang untuk ${S}$?