Dasar penentuan topologi unik
Ketika saya membaca Topologi Munkres , saya merasa jika kita memiliki dasar$\mathscr{B}$ di set $X$, maka basis secara unik menentukan topologi pada $X$; yaitu, jika kita memiliki dua topologi$\mathscr{T}_1, \mathscr{T}_2$ dengan dasar yang sama $\mathscr{B}$, kemudian $\mathscr{T}_1=\mathscr{T}_2$. Saya tidak yakin apakah saya benar karena saya tidak dapat melihat ini dalam definisi, yaitu sebagai berikut:
Jika $X$ diatur, dasar untuk topologi pada $X$ adalah sebuah koleksi $\mathscr{B}$ dari himpunan bagian $X$ (disebut elemen dasar) sedemikian rupa untuk masing-masing $x\in X$, setidaknya ada satu $B\in \mathscr{B}$ seperti yang $x\in B$ dan jika $x\in B_1\cap B_2$, dimana $B_1, B_2\in \mathscr{B}$, lalu ada $B_3\in \mathscr{B}$ seperti yang $x\in B_3\subset B_1\cap B_2$.
Apalagi dasarnya $\mathscr{B}$ menghasilkan topologi
$\mathscr{T}_\mathscr{B}=\left\{ U\subset X: \text{for each $x \ dalam U$, there exists $B \ in \ mathscr {B}$ such that $x \ dalam B \ subset U$}\right\}$,
yang merupakan topologi terkecil yang mengandung $\mathscr{B}$. Oleh karena itu, saya rasa kemungkinan topologi tersebut yang basisnya$\mathscr{B}$ harus sama dengan $\mathscr{T}_\mathscr{B}$.
Ngomong-ngomong, saya telah membaca artikel Keunikan Topologi dan Dasar dan salah satu komentar (ditinggalkan oleh Henno) tampaknya membenarkan firasat saya dan mereka menyebutkan set terbuka apa pun$O$ adalah gabungan dari elemen $\mathscr{B}$, jadi $O$ sudah ada di topologi $\mathscr{T}_\mathscr{B}$, tapi bagaimana mereka bisa tahu $O$dapat ditulis seperti ini hanya dengan definisi basis? Maksud saya, dalam buku Munkres, dia menyebutkan dalam lemme 13.1, dari pemahaman saya, itu$\mathscr{T}_\mathscr{B}=\left\{\cup_\alpha B_\alpha:B_\alpha \in \mathscr{B}\right\}$, sebagai kebalikan dari ucapan itu berlaku untuk topologi apapun dengan basis $\mathscr{B}$. Mungkin saya salah paham saat ini.
Setiap bantuan sangat dihargai !!
Jawaban
Kami mengatakan topologi itu $\mathcal T$ memiliki dasar $\mathcal B$ jika $\mathcal T_{\mathcal B}=\mathcal T$.
Jadi, segera jika dua topologi memiliki dasar yang sama maka keduanya sama.
Mengatakan itu untuk setiap $x\in U$ ada $B_x\in\mathcal B$ seperti yang $x\in B_x\subseteq U$ setara dengan mengatakan itu $U$ adalah penyatuan elemen $\mathcal B$, secara khusus $U=\bigcup_{x\in U}B_x$.
Apa yang mungkin Anda lewatkan adalah itu
Satu set $\mathcal B$ dari himpunan bagian $X$ adalah dasar untuk topologi (artinya $\mathcal T_{\mathcal B}=\left\{\bigcup \mathcal D:\mathcal D\subseteq\mathcal B\right\} $ adalah topologi) jika dan hanya jika kondisi yang diberikan berlaku, yaitu $\forall x\in X\,\exists B\in\mathcal B: x\in B$ dan $\forall x\in X\,\forall B_1,B_2\in\mathcal B\ x\in B_1\cap B_2\implies \exists B\in\mathcal B: x\in B\subseteq B_1\cap B_2$.
Saya akan mulai dari definisi topologi sebagai kumpulan dari semua set terbuka. Perhatikan sekarang bahwa setiap set terbuka dapat ditulis sebagai gabungan teori himpunan dari setiap elemen basis yang berisi sebuah titik$x \in U$, itu adalah, $U = \bigcup_{x\in U} B_x $. Perhatikan sekarang bahwa, dengan asumsi basis topologi, Anda selalu dapat mengambil dua elemen basis$B_1, B_2$ dengan persimpangan tidak kosong dan temukan elemen basis ketiga di dalamnya (sebut saja $B_3$). Kendati demikian, topologi yang dihasilkan oleh koleksi tanpa $B_3$dan yang dengan $B_3$ adalah persis sama dan ini berasal dari fakta bahwa kumpulan teori-himpunan tidak berubah jika kita menambahkan himpunan yang sudah diperhitungkan mempertimbangkan himpunan $B_1$ dan $ B_2$. Ini artinya ketika Munkres menulis bahwa basis untuk topologi tidak seperti basis untuk ruang vektor. Jadi, dari sudut pandang ini Anda dapat melihat bahwa karena himpunan teori himpunan dari semua himpunan terbuka (tetap) adalah objek unik, maka Anda dapat mengatakan bahwa basis menentukan topologi tetapi bukan kebalikannya.