De Broglie panjang gelombang sistem komposit
Dapatkah panjang gelombang De Broglie dari sistem komposit (seperti molekul) diturunkan dan bukan dihitung dari massa komposit?
EDIT: @Dr jh, hubungan menarik yang telah Anda peroleh. Namun, itu adalah penulisan ulang dari persamaan DeBroglie asli meskipun menggunakan variabel λ. De Broglie menebak solusinya dengan menetapkan batasan relativitas dan menghasilkan frekuensi partikel dalam kerangka istirahatnya sebagai f = m0c2h. Saya kira kita dapat merumuskan kembali pertanyaan saya tentang mengapa sebuah partikel memperoleh frekuensi sedemikian rupa sehingga tampaknya menjadi milik sistem terikat sehingga kita dapat sejenak mengabaikannya sebagai komposit. Apa yang mendasari fisika memberi partikel frekuensi ini. Dengan kata lain, jika kita memiliki bola besar di atas air dan kita melihatnya terombang-ambing, kita akan berasumsi ada sesuatu yang mendorongnya, seperti gelombang air. Dapatkah kita melakukan sesuatu yang serupa di sini dan mengasumsikan bahwa sistem terikat memperoleh frekuensi waktu yang tepat entah bagaimana dengan beresonansi ke gelombang yang mendasari dalam ruang hampa? Yang menarik dari cara De Broglie mendapatkan solusinya, dan saya telah melihat ini hanya dalam buku-buku QM yang langka, adalah bahwa partikel tersebut memiliki gelombang datar spasial (fase konstan) yang terkait yang kemudian bila diamati dari titik bingkai bergerak terlihat seperti bidang gelombang mengikuti arah gerak dengan λ yang diketahui. Tidak ada bentuk gelombang lain dalam bingkai partikel kecuali gelombang fase konstan yang akan menghasilkan hubungan seperti itu.
Jawaban
Dapatkah panjang gelombang De Broglie dari sistem komposit (seperti molekul) diturunkan dan bukan dihitung dari massa komposit?
Ya bisa. Ini adalah bahan standar untuk atom hidrogen dalam buku teks mekanika kuantum yang cukup padat, dan perluasan ke sistem yang lebih besar (sebagian besar, meskipun tidak sepenuhnya) sangat mudah. Namun, Anda harus memulai dari QM dewasa, termasuk relasi pergantian kanonik dan persamaan Schrödinger.
Cara kerjanya adalah Anda memulai dengan persamaan Schrödinger dalam bentuk $$ \left[ \frac{\mathbf p_p^2}{2m_p} +\frac{\mathbf p_e^2}{2m_e} -\frac{e^2}{|\mathbf r_e-\mathbf r_p|} \right]\Psi(\mathbf r_p, \mathbf r_e,t) = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf r_p, \mathbf r_e,t) $$ (dimana $\mathbf p_p$ dan $\mathbf p_e$ adalah operator untuk proton dan momen elektrona), dan Anda melakukan transformasi perubahan variabel menjadi koordinat pusat massa dan relatif, \begin{align} \mathbf R & = \frac{m_p \mathbf r_p + m_e \mathbf r_e}{m_p+m_e} \\ \mathbf r & = \mathbf r_e - \mathbf r_p, \end{align} dengan momen yang sesuai $\mathbf P$ dan $\mathbf p$, dan Anda dapat menunjukkan bahwa ini menghasilkan $$ \left[ \frac{\mathbf P^2}{2M} +\frac{\mathbf p^2}{2\mu} -\frac{e^2}{|\mathbf r|} \right]\Psi(\mathbf R, \mathbf r,t) = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf R, \mathbf r,t) , $$ dimana $M=m_p+m_e$ adalah massa total dan $\mu = \frac{m_pm_e}{m_p+m_e}$ adalah massa yang tereduksi.
Artinya, dinamika difaktorkan sepenuhnya, dengan dinamika pusat massa mengikuti persamaan Schrödinger yang lebih sederhana dari sebuah partikel bebas: $$ \frac{\mathbf P^2}{2M} \Psi(\mathbf R, \mathbf r,t) = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf R,t) . $$ Sekarang, relasi de Broglie (itu sendiri dikodekan dalam relasi pergantian kanonik) memberitahu Anda hal itu $P = h/\lambda_\mathrm{COM}$, dimana $\lambda_\mathrm{COM}$ adalah panjang gelombang de Broglie dari pusat massa, tetapi Anda juga tahu bahwa (dalam batas yang masuk akal untuk membicarakan kecepatan) $P = M v_\mathrm{COM}$.
Hubungan yang Anda inginkan berasal dari menyatukan keduanya.
Itu pertanyaan yang menarik. Panjang gelombang de Broglie dari benda apapun diberikan oleh
$λ_c = \frac{h}{mv}$
dimana m adalah massa benda, v adalah kecepatannya dan h adalah konstanta Planck. Untuk objek komposit, seperti molekul, kita dapat dengan mudah menjumlahkan massa, tetapi hubungan untuk menggabungkan panjang gelombang atom penyusun mungkin sedikit lebih rumit. Mari kita coba lakukan ini dengan induksi. Kasus dua atom (dua benda) (misalnya,$NaCl$ molekul) kami menggabungkan dua massa masing-masing atom sehingga
$m_T=m_1 + m_2$
dimana $m_T$adalah massa total. Hubungan de Broglie untuk massa masing-masing atom adalah:
$m_1= \large \frac{h}{λ_1v}$
$m_2= \large \frac{h}{λ_2v}$
(dan jelas kecepatan untuk setiap komponen identik dengan kecepatan keseluruhan) sedangkan untuk panjang gelombang komposit de Broglie kita memiliki
$λ_T = \large \frac{h}{(m1+m2)v}$ = $\frac{h}{[(h/λ_1v)+(h/λ_2v)]v}$ = $\frac{1}{1/λ_1 + 1/λ_2}$
Kita kemudian dapat menerapkan ini pada kasus 3-tubuh, dan dengan asumsi bahwa dua komponen memang bergabung seperti sebelumnya, maka kita dapat secara induktif menggabungkan panjang gelombang ketiga, yaitu,
$λ_T = \large \frac{1}{1/λ_1 + 1/λ_2 + 1/λ_3}$
Dan lagi dengan induksi kita dapat memperluas ini untuk mencari hubungan umum komposisi panjang gelombang de Broglie untuk sejumlah panjang gelombang komponen (atau atom komponen) N:
$$λ_T = \frac{1}{1/λ_1+1/λ_2+...+1/λ_N}$$
Hubungan ini menunjukkan bahwa gelombang de Broglie yang dihasilkan dari molekul, adalah kebalikan dari jumlah resiprokal, dari panjang gelombang penyusun (atom). Ini adalah hasil yang menarik.
Harap dicatat bahwa fisika tidak akan pernah menjelaskan "mengapa" sesuatu terjadi. Fisika akan memberi tahu Anda "bagaimana" sesuatu terjadi berdasarkan observasi, eksperimen, dan hipotesis. Pertanyaan Anda lebih filosofis daripada ilmiah. Tak perlu dikatakan bahwa dualitas gelombang-partikel adalah prinsip sentral fisika modern / mekanika kuantum. Semua materi menunjukkan perilaku seperti gelombang. Berkas partikel seperti elektron akan berdifraksi atau mengganggu dengan cara yang sama seperti gelombang air. Hipotesis de Broglie adalah bahwa materi berperilaku seperti gelombang. Itu dia. Perilaku ini terlihat pada level kuantum dan untuk objek makroskopis dapat diabaikan. Perbandingan Anda dengan "bola bowling yang mengambang di atas gelombang air" didasarkan pada asumsi yang tidak valid. Objek kuantum seperti foton tidak perlu memiliki media untuk menunjukkan perilaku seperti gelombang. (Pertanyaan Anda tampaknya mengingatkan pada pertanyaan Michelson-Morley, di mana secara eksperimental ditentukan bahwa cahaya tidak membutuhkan media untuk menyebar). Tidak ada "beresonansi dengan gelombang yang mendasari dalam ruang hampa" seperti yang Anda katakan.
Mungkin Anda bisa melihat Teori Gelombang Percontohan atau Mekanika Bohmian . Ini memberikan alternatif yang sepenuhnya deterministik untuk teori kuantum yang diterima saat ini. Teori itu sendiri tidak diterima oleh fisika arus utama dan tidak cocok dengan relativitas. Ini menarik.