Definisi logis dengan kesetaraan dan Hukum Identitas dalam "Pengantar Logika" Suppes
" Pengantar Logika " dari Patrick Suppes memberikan aturan untuk definisi formal di bab 8. Aturan di bawah ini ditentukan untuk simbol operasi baru dengan persamaan:
Kesetaraan $D$ memperkenalkan simbol operasi n-tempat baru $O$ adalah definisi yang tepat dalam teori jika dan hanya jika $D$ berbentuk:
$O(v_1, ..., v_n) = w \leftrightarrow S$
dan batasan berikut dipenuhi:
(i)$v_1, ..., v_n, w$adalah variabel yang berbeda.
(ii)$S$ tidak memiliki variabel bebas selain $v_1, ..., v_n, w$.
(aku aku aku)$S$adalah rumus di mana satu-satunya konstanta non-logis adalah simbol primitif dan simbol teori yang didefinisikan sebelumnya.
(iv) Rumusnya$\exists !w[S]$ diturunkan dari aksioma dan definisi teori sebelumnya.
Ada juga sebutan sebelumnya tentang Hukum Identitas :
Jika x adalah apapun, maka $x=x$.
Sekarang anggaplah Anda memiliki definisi berikut:
$$ \forall f,x,y[f_x = y \iff f \text{ is a function } \land \langle x,y \rangle \in f] $$
Mari kita asumsikan juga bahwa Anda sebelumnya telah menetapkan fungsi dan pasangan terurut sehingga Anda dapat membuktikannya $\exists !y[S]$ dengan perluasan, sehingga mengikuti aturan (iv).
Inilah masalahnya: Dalam batas-batas kumpulan aturan ini, sepertinya seseorang dapat menggunakan Hukum Identitas dengan variabel apa pun, katakanlah$A$, untuk mengklaim itu $A_x=A_x$ dan gunakan itu untuk mengklaim itu $A \text{ is a function } \land \langle x,A_x \rangle \in A$, dan begitulah $A$adalah sebuah fungsi, meskipun kita tidak tahu apa-apa tentangnya. Logika itu dapat digunakan dengan variabel apa pun, baik itu relasi normal, himpunan sederhana, atau bahkan urelement, jadi deduksi ini pasti salah.
Awalnya, saya pikir saya melanggar aturan (iii), sebagai pernyataan "$A \text{ is a function } \land \langle x,A_x \rangle \in A$"memiliki simbol yang tidak ditentukan sebelumnya di dalamnya, $A_x$, yang didefinisikan dalam pernyataan itu sendiri, sehingga tidak valid.
Namun, pertimbangkan definisi berikut: $$ \newcommand\liff{\leftrightarrow} \newcommand\lif{\rightarrow} \newcommand\lfi{\leftarrow} \newcommand\ordp[2]{\langle #1,#2 \rangle} \newcommand\mset[1]{\{ #1 \}} \newcommand\isRel[1]{#1 \text{ is a relation}} \newcommand\isFunc[1]{#1 \text{ is a function}} \newcommand\isOneOne[1]{#1 \text{ is one-one}} \mset{a} = p \iff \forall x[x \in p \liff x = a] $$
Ini unik karena perluasan. Tampaknya konsekuensi yang jelas dari itu$\mset{a} = \mset{b} \lif a = b$, tapi satu-satunya cara yang saya lihat untuk membuktikannya adalah dengan menggunakan $\mset{a} = \mset{b}$ mendapatkan $\forall x[x \in \mset{b} \liff x = a]$, yang akan dianulir jika interpretasi saya benar, jadi saya rasa itu bukan jawabannya.
Naluri kedua saya adalah bahwa aturan (i) sedang dilanggar, itu $f_x = f_x$tidak dihitung sebagai variabel berbeda. Namun dari definisi di atas juga terlihat demikian$a \in \mset{a}$harus mengikuti. Satu-satunya cara yang saya lihat untuk membuktikan ini adalah dengan menggunakan$\mset{a} = \mset{a}$ dengan definisi, yang tidak akan diizinkan jika ini masalahnya, jadi saya juga tidak merasa itu solusinya.
Jadi pertanyaan saya adalah: Apa penyebab sebenarnya dari kesalahan tersebut?
Sunting: Setelah diskusi panjang, saya menambahkan beberapa informasi untuk memperjelas apa yang diharapkan dan bukan tentang pertanyaan ini.
Ini bukan tentang teori himpunan . Masalah saya adalah tentang bahasa formal dari logika orde pertama yang disediakan oleh buku. Untuk menghindari fokus pada teori himpunan, saya akan memberikan contoh kedua. Misalkan kita memiliki pernyataan berikut:
$$ \forall a,b,x,y[\text{isSingleChild}(x) \land \text{parentsOf}(a,b,x) \land \text{parentsOf}(a,b,y) \Rightarrow x = y] \\ \forall a,b,x[\text{son}\{a,b\} = x \iff \text{isAdult}(a) \land \text{isAdult}(b) \land \text{parentsOf}(a,b,x) \land \text{isSingleChild}(x)] $$
Pernyataan pertama menjamin itu $x$ unik dalam definisi $\text{son}$.
Definisi $\text{son}\{a,b\}$tampaknya mengikuti semua aturan yang disediakan. Ini tidak dimaksudkan untuk menyatakan bahwa variabel apa pun mengikuti predikat tertentu, tetapi hanya menyatakan hubungan logisnya. Namun, jika Anda menggunakannya bersama dengan Hukum Identitas, Anda dapat memperoleh:
$$ \newcommand{\fitch}[1]{\begin{array}{rlr}#1\end{array}} \newcommand{\fcol}[1]{\begin{array}{r}#1\end{array}} %FirstColumn \newcommand{\scol}[1]{\begin{array}{l}#1\end{array}} %SecondColumn \newcommand{\tcol}[1]{\begin{array}{l}#1\end{array}} %ThirdColumn \newcommand{\subcol}[1]{\begin{array}{|l}#1\end{array}} %SubProofColumn \newcommand{\subproof}{\\[-0.25em]} %adjusts line spacing slightly \newcommand{\fendl}{\\[0.037em]} %adjusts line spacing slightly \small \fitch{ \fcol{1:\fendl 2:\fendl 3:\fendl\fendl 4:\fendl 5:\fendl 6:\fendl 7:\fendl 8:\fendl } & \scol { \forall a,b,x[\text{son}\{a,b\} = x \iff \text{isAdult}(a) \land \text{isAdult}(b) \land \text{parentOf}(a,b,x) \land \text{isSingleChild}(x)] \\ \forall x[\text{son}\{a,b\} = x \iff \text{isAdult}(a) \land \text{isAdult}(b) \land \text{parentOf}(a,b,x) \land \text{isSingleChild}(x)] \\ \text{son}\{a,b\} = \text{son}\{a,b\} \\\quad\iff \text{isAdult}(a) \land \text{isAdult}(b) \land \text{parentOf}(a,b,\text{son}\{a,b\}) \land \text{isSingleChild}(\text{son}\{a,b\}) \\ \forall x[x = x] \\ \text{son}\{a,b\} = \text{son}\{a,b\} \\ \text{isAdult}(a) \land \text{isAdult}(b) \land \text{parentOf}(a,b,\text{son}\{a,b\}) \land \text{isSingleChild}(\text{son}\{a,b\}) \\ \text{isAdult}(a) \\ \forall a [\text{isAdult}(a)] \\ } & \tcol{ \text{P} \fendl 1\ \forall\text{E}\ \fendl 2\ \forall\text{E}\ \fendl\fendl \text{T}\ \fendl 4\ \forall\text{E}\ \fendl 3,5\ {\liff}\text{E}\ \fendl 6\ {\land}\text{E}\ \fendl 7\ \forall\text{I}\ \fendl }} $$
Jadi dari definisi itu, Anda dapat menyimpulkan bahwa setiap orang adalah orang dewasa. Perhatikan apa yang tidak saya katakan. Saya tidak mengatakan bahwa argumen ini masuk akal, atau mempertahankannya, saya mengatakan bahwa aturan yang diberikan dalam buku mengizinkannya (Mungkin tidak, tetapi saya tidak melihat aturan deduksi logis dilanggar). Saya tahu argumennya tidak masuk akal, tetapi aturan formal diikuti . Pertanyaan saya bukanlah tentang kekuatan argumen tersebut, tetapi kesehatan sistem yang disediakan dalam buku itu.
Perhatikan juga bahwa pernyataan itu bukan tentang teori himpunan, atau "teori keluarga", ini tentang logika itu sendiri . Penegasan saya adalah bahwa (tampaknya) dalam sistem formal yang diberikan, pernyataan apa pun dalam bentuk berikut berlaku:
$$ \forall a,b,x[\text{entityFrom}\{a,b\} = x \iff \text{hasSomeProperty}(a) \land \text{uniqueRelation}(a,b,x)] \vdash \forall a[\text{hasSomeProperty}(a)] $$
Saya memahami bahwa definisi tersebut tidak memerlukan kesimpulan. Meskipun demikian, di dalam sistem, kesimpulannya tampaknya dapat disimpulkan darinya.
Hanya ada tiga pilihan. Entah sistem formal yang diberikan tidak terdengar, definisi sebenarnya memerlukan kesimpulan, atau saya melewatkan / salah menafsirkan beberapa aturan tentang Hukum Identitas / Aturan untuk Definisi / Aturan untuk Pengukur.
Buku dan usianya lebih dari 50 tahun, segala kemungkinan kelalaian dalam sistem akan diperhatikan pada titik ini (juga ditulis oleh Suppes, jadi saya ragu ada), jadi saya yakin ini bukan yang pertama. Definisi juga tampak terbentuk dengan baik dan terasa seperti tidak mengarah langsung ke kesimpulan, jadi mungkin ini juga bukan yang kedua. Mengarah pada kesimpulan bahwa saya mungkin melewatkan atau salah menafsirkan beberapa ketentuan / aturan yang akan membuat argumen itu tidak valid. Pertanyaannya adalah, yang mana?
Apa yang tidak akan menjawab pertanyaan:
- "Dalam teori himpunan, fungsi memiliki domain tertentu dan perlu memiliki [beberapa properti himpunan], jadi tidak mungkin semua variabel menjadi fungsi."
- "Definisi Anda tentang orang tua tidak menjelaskan gagasan tentang orang tua dengan benar, karena tidak menyiratkan bahwa semua anak memiliki orang tua dan [beberapa sifat orang tua], jadi definisi tersebut bukanlah deskripsi yang benar."
Solusinya tidak boleh tentang argumen yang tidak masuk akal dalam satu teori tertentu, yang tidak akan sampai ke akar masalah. Konteks tertentu dapat digunakan sebagai contoh, tetapi solusinya harus pada tingkat bahasa formal.
Apa yang mungkin menjawab pertanyaan:
- "Set aturan yang diberikan oleh buku sebenarnya tidak lengkap, karena definisi dengan persamaan yang mengandung [beberapa properti sintatis] dapat menyebabkan kesalahan. Namun, Anda dapat menghindarinya dengan menambahkan aturan baru yang mengharuskan definisi Anda memiliki [definisi baru contraint] "
- "Definisi Anda secara logis memerlukan kesimpulan. Pikirkanlah, jika definisi Anda [ini], maka [penjelasan mengapa definisi tersebut secara logis mengarah pada kesimpulan], jadi argumen dan kesimpulannya valid. Saya ragu itu yang Anda maksudkan. akhiri dengan definisi Anda. Saya pikir yang sebenarnya Anda maksud adalah [definisi berperilaku baik]. " $^{\dagger}$
- "Anda salah menafsirkan aturan [n], mungkin Anda mengira itu berarti [interpretasi] padahal sebenarnya dikatakan [interpretasi berbeda]. Jika Anda memperhitungkannya, baris [x] argumen Anda tidak valid."
- "Anda lupa bahwa Anda tidak dapat mengganti istilah yang ditentukan seperti yang Anda lakukan dengan variabel. Anda hanya dapat mengganti istilah yang ditentukan jika [beberapa kondisi sintatis] berlaku, jadi langkah $3$ pemotongan Anda tidak valid. "
- "Hukum Identitas tidak hanya membutuhkan keunikan, tetapi juga [beberapa properti variabel], jadi Anda tidak boleh menggunakannya sebagai sejalan $5$, karena variabel dalam definisi Anda tidak mengikuti batasan ini. "
Jawaban Anda tidak harus salah satu di atas. Saya hanya menyajikan jenis jawaban yang saya rasa kemungkinan besar akan berguna: Jawaban yang berfokus pada bahasa formal.
Terima kasih telah membaca sampai akhir, dan saya harap ini cukup menjelaskan masalah yang ingin saya selesaikan.
$\dagger$Seperti yang ditunjukkan oleh Mauro ALLEGRANZA, kasus ini secara khusus masuk akal. Seperti yang dia katakan:
Pikirkan tentang ini: apakah ada beberapa aksioma dalam teori Anda yang mengatakan bahwa tidak setiap objek adalah Dewasa?
Yang saya setujui. Namun, ada satu masalah: Aturan seharusnya tidak mengizinkan ini .
Di awal bab yang sama, sebelum aturan ditetapkan, tujuannya sudah dibuat. " Kriteria definisi yang tepat ". Tujuannya adalah untuk memisahkan aksioma dari definisi. Yang pertama ( Criterion of Eliminability ) tidak penting untuk diskusi ini, tapi yang kedua penting.
The Kriteria Non-Kreativitas menyatakan bahwa definisi$S$ tidak kreatif jika dan hanya jika:
Tidak ada rumusnya $T$ di mana simbol baru tidak muncul sedemikian rupa $S \rightarrow T$ diturunkan dari aksioma dan definisi sebelumnya dari teori tetapi $T$ tidak begitu bisa diturunkan.
Tujuan dari kumpulan aturan adalah untuk menjamin bahwa definisi kami mengikuti kedua kriteria ini. Seperti yang dinyatakan di halaman 155: "[...] kami beralih ke tugas menyatakan aturan definisi yang akan menjamin kepuasan dua kriteria eliminasi dan non-kreativitas "
Dalam contoh orang tua saya, kami memiliki pernyataan pertama sebagai aksioma, dan yang kedua sebagai definisi. Namun, dalam teori itu, pernyataan itu$\forall a [\text{isAdult}(a)]$ tidak mengandung simbol baru dan diturunkan dari definisi baru, tetapi tidak dari aksioma-aksioma saja, yang akan membuat definisi tersebut kreatif.
Jadi dalam hal ini, pertanyaan saya kemudian menjadi: Kenapa definisi itu kreatif, padahal aturan seharusnya menjamin non-kreativitas?
Jawaban
Aturan yang diberikan oleh buku ini tidak lengkap. Contoh derivasi yang Anda berikan juga patut dicermati. Anda mendapatkan (tampaknya) kesimpulan yang paradoks karena pembatasan (iv) sebenarnya tidak berlaku dalam contoh Anda.
Dalam contoh pertama Anda, rumusnya $S$ menunjukkan yang berikut: "$v_2 \text{ is a function } \wedge \langle v_1,w \rangle \in v_2$". Jadi pembatasan (iv) tidak dipenuhi kecuali berikut ini adalah teorema dari teori yang sedang dipertimbangkan:
$$\exists! w. v_2 \text{ is a function } \wedge \langle v_1,w \rangle \in v_2 $$
yang mana sejak $v_1,v_2$ adalah variabel bebas yang berbeda, berlaku tepat jika
$$\forall v_1. \forall v_2. \exists! w. v_2 \text{ is a function } \wedge \langle v_1,w \rangle \in v_2 $$
adalah teorema teori Anda juga. Tak perlu dikatakan, pernyataan terakhir ini bukanlah teorema dari teori himpunan yang masuk akal. Secara khusus itu akan menyiratkan "$\forall v. v \text{ is a function }$" dengan sendirinya.
Dalam contoh kedua Anda, rumusnya $S$ menunjukkan yang berikut: "$\text{isAdult}(v_1) \wedge \text{isAdult}(v_2) \wedge \text{parentsOf}(v_1,v_2,w) \wedge \text{isSingleChild}(w)$". Seperti di atas, pembatasan (iv) tidak dipenuhi kecuali berikut ini adalah teorema dari teori yang sedang dipertimbangkan:
$$ \forall v_1. \forall v_2. \exists! w. \text{isAdult}(v_1) \wedge \text{isAdult}(v_2) \wedge \text{parentsOf}(v_1,v_2,w) \wedge \text{isSingleChild}(w) $$
Namun jika kalimat yang diberikan di atas adalah dalil teori Anda, maka Anda sudah bisa membuktikannya (langsung dimulai dari kalimat di atas sebagai premis, dan menggunakan $\forall E$, $\wedge E$ dan $\forall I$) itu $\forall v_1. \text{isAdult}(v_1)$ adalah teorema teori Anda.