Definisi subbidang yang lebih ringkas

Aug 18 2020

Saya membaca buku teks Aljabar oleh Saunders MacLane dan Garrett Birkhoff di mana subbidang didefinisikan sebagai

Subset dari bidang$F$adalah subbidang jika dan hanya jika tertutup di bawah operasi perkalian unit, pengurangan, perkalian, dan invers perkalian (dari elemen bukan nol).

Pertanyaan saya:

  1. Dari definisi subring ini, yaitu

Sebuah subring dari sebuah cincin$(\mathrm{R},+, *, 0,1)$adalah himpunan bagian$\mathrm{S}$dari$\mathrm{R}$yang mempertahankan struktur cincin, yaitu cincin$(\mathrm{S},+, *, 0,1)$dengan$\mathrm{S} \subseteq \mathrm{R}$. Secara ekuivalen, keduanya merupakan subgrup dari$(\mathrm{R},+, 0)$dan submonoid dari$(\mathrm{R}, *, 1)$.

Saya mengerti "Setara, keduanya adalah subkelompok dari$(\mathrm{R},+, 0)$dan submonoid dari$(\mathrm{R}, *, 1)$" sebagai

Sebuah subset$S$adalah turunan dari$R$jika dan hanya jika$S$adalah subgrup tambahan dari$(R,+,0)$dan$S \setminus \{0\}$adalah submonoid perkalian dari$(R \setminus \{0\},*,1)$.

  1. Terinspirasi dari definisi di atas. Saya telah menemukan definisi subbidang yang lebih ringkas, yaitu

Sebuah subset$E$dari sebuah lapangan$(F,+, *, 0,1)$adalah subbidang jika dan hanya jika$E$adalah subgrup tambahan dari$(F,+,0)$dan$E \setminus \{0\}$adalah subgrup perkalian dari$(F \setminus \{0\},*,1)$.

Bisakah Anda memverifikasi apakah pemahaman saya benar? Terima kasih banyak atas bantuan Anda!

Jawaban

4 Jori Aug 18 2020 at 18:42

Sedikit koreksi: Rumusan kedua Anda (versi definisi subbidang) benar, tetapi rumusan pertama tentang subring secara umum tidak benar:$(R\setminus\{0\},*,1)$itu sendiri tidak perlu monoid (yaitu tertutup di bawah perkalian), sebagai cincin$R$dapat memiliki nol pembagi atau$R\setminus\{0\}$mungkin kosong.

Pepatah$(R\setminus\{0\},*,1)$adalah monoid (yaitu submonoid dari$(R,*,1)$) sudah menyiratkan$1\neq 0$dan$R$tidak memiliki pembagi nol. Dalam hal ini (hanya),$(S,*,1)$adalah submonoid dari$(R,*,1)$jika$(S\setminus\{0\},*,1)$adalah submonoid dari$(R\setminus\{0\},*,1)$.

2 Vincent Aug 18 2020 at 17:46

Ya keduanya benar. Anda mungkin memperhatikan pola dalam semua definisi ini: sebuah sub-floop dari sebuah floop$X$adalah himpunan bagian$Y$dari$X$itu masih floop dengan operasi yang diwarisinya$X$.