Demonstrasi ketidakmungkinan menggambar garis sejajar hanya dengan menggunakan penggaris-sejajar.

Question

Dari tanggapan atas pertanyaan ini , tampaknya sudah diketahui dengan baik bahwa tidak mungkin melacak garis sejajar dengan garis lurus:$\ell$ melalui suatu titik: $P$, menggunakan penggaris lurus secara eksklusif.

Bisakah Anda menunjukkan fakta seperti itu?

Answer 1

Sebuah konstruksi yang hanya menggunakan penggaris-sejajar dapat diubah melalui transformasi proyektif (alias homografi) .

Misalkan Anda memiliki konstruksi garis lurus untuk sebuah garis $m$ melalui titik $P$ sejajar dengan garis $\ell$. Misalkan peta transformasi proyektif$P\rightarrow P'$ dan $\ell\rightarrow \ell'$. Kemudian konstruksi yang sama akan menghasilkan garis$m'$ yang pada umumnya tidak sejajar $\ell'$. Jadi kami memiliki kontradiksi, dan tidak ada konstruksi garis lurus seperti itu.

Demonstrasi akan sedikit lebih menarik jika transformasi proyektif menghilang $P$ dan $\ell$invarian. Dalam hal ini, konstruksi yang sama akan menghasilkan dua garis yang berbeda, bila diterapkan sebelum dan sesudah pada titik dan garis yang sama.