Derajat perpanjangan medan oleh elemen transendental
Membiarkan $F$ jadilah ladang, dan biarkan $F(x)$ menjadi bidang pecahan cincin polinomial $F[x]$. Saya tertarik dengan derajat perluasan lapangan$[F(x) : F]$. Jelas itu tidak terbatas, tetapi apa sebenarnya kardinalitasnya? Apakah itu$\aleph_0$? Apakah itu tergantung di lapangan$F$?
Jawaban
Alami $F$-basis dari $F(x)$ aku s $$\{ x^k, k\ge 0\} \cup \{ x^l/h^m, m\ge 1,l<\deg(h), h \in F[x]\text{ monic irreducible}\}$$ Jadi (untuk $F$ tak terbatas) kardinalitas basis terdiri dari $F$ dan $F[x]^2$, yaitu. itu sama dengan$F$.
Untuk bidang tak terbatas apa pun $F$, $F[x] = \oplus_{n \geq 0} F (x^n)$ memiliki kardinalitas yang sama dengan $F$, dan ada pemetaan dugaan $F[x] \times (F[x])^* \rightarrow F(x)$ diberikan oleh $(p(x), q(x)) \mapsto \frac{p(x)}{q(x)}$ (dimana $(F[x])^* = F[x] \setminus \{ 0 \}$). Sejak$F[x] \times (F[x])^*$ memiliki kardinalitas yang sama dengan $F[x]$, hasilnya mengikuti.
Jika $F$ terbatas, $F[x]$ terhitung tak hingga, dan dengan logika yang sama seperti di atas, $F(x)$ juga terhitung tak terbatas.