Diskusikan keberadaan dan keunikan untuk masalah Cauchy

Question

Saya tidak tahu apa yang terjadi dengan latihan ini. Saya butuh bantuan karena saya cukup bingung.

---

Pertimbangkan masalah Cauchy

\ begin {cases} y '= \ frac {2} {t} y + 2 t \ sqrt {y} \\ y (1) = 0 \ end {cases}

Pelajari keberadaan dan keunikan

---

Sini $$f(t,y)=\frac{2}{t} y + 2 t \sqrt{y}$$ Sejak $y\geq0$ (Saya memiliki akar kuadrat), saya anggap sebagai lingkungan terbuka $K = \{t: |t-1|< r_1 \} \times \{y: 0 < y < r_2 \}$, tapi dengan cara ini saya bermasalah $$f_y(t,y)= \frac{2}{t} + \frac{t}{\sqrt{y}}$$ karena terputus pada $y=0$.

Jadi saya harus mencari kondisi yang lebih lemah sebagai kontinuitas Lipschitz: saya ambil $(t,y_1)$ dan $(t,y_2)$ di $K$:

$$|\frac{2}{t} \bigl(y_1 - y_2 \bigr) + 2t \bigl( \sqrt{y_1} - \sqrt{y_2} \bigr)| \leq |\frac{2}{t} \bigl(y_1 - y_2 \bigr)| + |2t \bigl( \sqrt{y_1} - \sqrt{y_2} \bigr)| $$

tetapi istilah kedua dari ketidaksetaraan cukup bermasalah: ini seperti membuktikan hal itu $x \mapsto \sqrt{x}$ adalah Lipschitz untuk $x\geq0$, yang diketahui salah.

---

Jadi, saya tidak bisa menerapkan teorema sebenarnya ... Apakah saya salah? Jika ya, apa kesalahan saya?

Answer 1

The rhs $f(t,y)$, didefinisikan di $\Omega := (0, +\infty) \times [0,+\infty)$, terus menerus masuk $\Omega$tetapi Lipschitz tidak terus menerus secara lokal. Karenanya, teorema Peano menjamin keberadaan lokal, tetapi keunikan tidak perlu dipertahankan (dan, memang, dalam kasus kami, kami memiliki lebih dari satu solusi).

Lebih lanjut, $f$ berada di sublinear $y$, yang berarti bahwa $|f(t,y)| \leq a(t) + b(t) |y|$ untuk beberapa fungsi berkelanjutan $a, b \in C((0,+\infty))$, sehingga semua solusi bersifat global (artinya setiap solusi mengakui perpanjangan $(0,+\infty)$).

Mari kita menghitung solusi dari masalah Cauchy yang diberikan. Salah satu solusinya adalah fungsi konstanta$y(t) = 0$, $t\in (0,+\infty)$.

Larutan lain memisahkan diri dari larutan konstan pada suatu waktu $\tau \geq 1$. Untuk menemukannya, pertama-tama mari kita menghitung solusi benar-benar positif dari persamaan diferensial. Dengan perubahan variabel$z = \sqrt{y}$ kita dibiarkan ke persamaan linier $z' = z/t + t$, yang solusinya berupa $z(t) = ct + t^2$, untuk beberapa hal yang konstan $c\in \mathbb{R}$. Ingatlah bahwa kami hanya tertarik pada solusi positif yang ditentukan dalam beberapa subinterval$(0,+\infty)$. Yang sesuai$y$ kemudian menjadi bentuk $$ y_\tau (t) = t^2 (t- \tau)^2, \qquad t > \max\{\tau, 0\}, $$
dimana $\tau$adalah parameter nyata. Mudah dilihat bahwa, jika$\tau \geq 1$, kemudian $y_\tau$ bisa diperpanjang ke kiri dengan $0$ solusi, mendapatkan solusi global dari masalah Cauchy $$ y_\tau(t) := \begin{cases} 0, & \text{if}\ t \in (0, \tau], \\ t^2(t-\tau)^2, & \text{if}\ t > \tau\,. \end{cases} $$ Kesimpulannya, untuk setiap $\tau \geq 1$fungsi di atas adalah solusi dari masalah Cauchy. (Keluarga solusi ini disebut sikat Peano.)