Ekspansi asimtotik dari fungsi hipergeometrik ${}_3F_2$ untuk parameter besar

Question

Saya menemukan fungsi hipergeometrik berikut dalam penelitian saya: $${}_3F_2(2,1+n,1+n;1,2+n;z)$$ dimana $0<z<1$. Saya tertarik dengan perilakunya secara luas$n$. Plot Semilog menunjukkan peningkatan eksponensial$n$, bagaimanapun, saya kesulitan mendapatkan ekspresi untuk ekspansi asimtotik. Ada banyak referensi ke volume 1969 oleh Yudell Luke. Saya memindainya tanpa hasil untuk mendapatkan hasil yang sesuai dengan rumus di atas. Saya hanya seorang ilmuwan komputer, dan saya tidak terbiasa dengan literatur tentang fungsi hipergeometrik (yang tampaknya cukup luas). Saya sangat menghargai bantuan apa pun.

Answer 1

Di bawah ini adalah evaluasi bentuk tertutup dari segi fungsi sederhana. Membiarkan$y=z/(z-1).$ Kemudian $${}_3F_2(2,n,n;1,n+1;z)=n(-z)^{-n}\Big((n-1)\big(\log(1-y)+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{y^k}{k} \big) + y^n \Big)$$ Saya membuktikan ini dengan menggunakan properti simbol Pochhammer, yang membawa saya ke kombinasi linier ${}_2F_1.$ Kemudian saya menggunakan transformasi linier untuk mendapatkan argumen $z$ untuk $y.$Deret tersebut dapat dimanipulasi untuk menghasilkan logaritma dan jumlah yang terbatas. Variabel$y$selalu negatif, tetapi jika jumlahnya kecil, jumlahnya akan menyatu dengan cepat. Jika Anda meletakkan ini di komputer, hati-hati terhadap negatif besar$y,$ yang terjadi untuk $z$mendekati 1. Dalam jumlah yang terbatas, saya mungkin akan menambahkan suku-suku secara berpasangan. Jika$z\sim 1$ kasus Anda adalah kasus Anda yang paling penting, maka mungkin ada baiknya memikirkan hal ini lagi.

Ditambahkan: Jumlah untuk $z\sim 1$dapat dilakukan dengan ekspansi yang ditemukan dalam 'Ekspansi Asymptotic Berkenaan dengan Deret Logaritmik dan Jumlah Trigonometri Terkait,' G. Fikioris & P. ​​Andrianesis, J. Class. Analisis vol 7 # 2, (2015) 113-127.$$ \sum_{k=1}^{n-1}\frac{y^k}{k} \sim y^n\sum_{k=0}^\infty \frac{A_k(y)}{(y-1)^{k+1}} \frac{1}{n^{k+1}} \, ,n \to \infty $$ Dimana $A_k(y)$ adalah polinomial Euler dan dimulai dengan $A_0(y)=1$ dan $A_1(y) = y.$