Ekspresi untuk kelengkungan ekstrinsik
Dalam buku Padmanabhan Gravitation Foundations and Frontiers, persamaan berikut mengenai kelengkungan ekstrinsik permukaan hiper dapat ditemukan di bagian 12.2 (lihat persamaan 12.19 di atas dalam buku itu),
\begin{align} K_{\alpha\beta}=-\nabla_\alpha n_\beta=-N\Gamma^0_{\alpha\beta}. \end{align}
Menurut konvensi buku indeks yunani dijalankan untuk koordinat spasial ($\alpha=1,2,3$) dan indeks latin dijalankan untuk koordinat ruang-waktu ($a=0,1,2,3$). Dengan demikian persamaan di atas memberikan ekspresi untuk komponen spasial kelengkungan ekstrinsik,$K_{\alpha\beta}$. Sini,$n^a$ adalah bidang vektor normal untuk permukaan hiper dan $N$adalah fungsi selang. Sekarang buku tersebut mengklaim jika kita memperluas simbol Christoffel, kita akan mendapatkan ekspresi berikut (lihat persamaan 12.19 di buku),
$$K_{\alpha\beta}=\frac{1}{2N}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)$$
Sini, $N^\alpha$ adalah vektor pergeseran, $h_{\alpha\beta}$ adalah metrik spasial yang diinduksi pada hypersurface, dan $D_m$ adalah turunan kovarian intrinsik pada permukaan-hip dengan aksinya pada vektor spasial murni $X_s$, yang memenuhi batasan seperti $X_sn^s=0$, didefinisikan sebagai
$$D_mX_s=h^a_mh^b_s\nabla_aX_b,$$
dimana, $h^a_b=\delta^a_b+n^an_b$ adalah tensor proyeksi pada permukaan-hiper, dan $\nabla_a$ adalah turunan kovarian biasa untuk ruangwaktu.
Saya gagal mendapatkan persamaan 12.19 yang memberikan ekspresi untuk $K_{\alpha\beta}$. Di bawah ini saya tunjukkan, bagaimana saya mencoba melakukannya. Simbol Christoffel dapat diperluas sebagai,\begin{align} \Gamma^0_{\alpha\beta}&=\frac{1}{2}g^{0a}\left(\partial_\alpha g_{\beta a}+\partial_\beta g_{\alpha a}-\partial_a g_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=\frac{1}{2}g^{00}\left(\partial_\alpha g_{\beta 0}+\partial_\beta g_{\alpha 0}-\partial_0 g_{\alpha\beta}\right)+\frac{1}{2}g^{0\gamma}\left(\partial_\alpha g_{\beta \gamma}+\partial_\beta g_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma g_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=\frac{-1}{2}N^{-2}\left(\partial_\alpha N_{\beta}+\partial_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)+\frac{1}{2}N^{-2}N^{\gamma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=\frac{-1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}+2\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)+\frac{1}{2}N^{-2}N^{\gamma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=\frac{-1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)-N^{-2}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}+\frac{1}{2}N^{-2}N^{\gamma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right) \end{align} Di atas, saya telah menggunakan fakta bahwa, $$n_0=-N,\quad n_\alpha=0,$$ $$D_\alpha N_\beta=h^a_\alpha h^b_\beta\nabla_a N_b=\partial_\alpha N_\beta-\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_\gamma,$$ $$h_{00}=N^\gamma N_\gamma,\quad h_{0\alpha}=N_\alpha,\quad h_{\alpha\beta}=g_{\alpha\beta}$$
Jawaban
Perhitungan OP sepertinya baik-baik saja. Jika kita melanjutkan sepanjang garis itu, ekspresi yang diperlukan dapat dicapai dengan lebih mudah. Pertama, saya perhatikan bahwa,$$D_\alpha N_\beta=\partial_\alpha N_\beta-{}^{(3)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_\gamma\neq \partial_\alpha N_\beta-{}^{(4)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_\gamma=\partial_\alpha N_\beta-\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_\gamma,$$Mungkin substitusi inilah yang membingungkan dalam perhitungan OP. Jika kita memperbaikinya maka itu mengikuti,\begin{align} &\frac{1}{2}g^{0a}\left(\partial_\alpha g_{\beta a}+\partial_\beta g_{\alpha a}-\partial_a g_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=-\frac{1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}+2{}^{(3)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)+\frac{1}{2}N^{-2}N^{\gamma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=-\frac{1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)-N^{-2}{}^{(3)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}+\frac{1}{2}N^{-2}N^{\gamma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=-\frac{1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)-N^{-2}{}^{(3)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}\nonumber\\ &\qquad+\frac{1}{2}N^{-2}N_{\sigma}h^{\gamma\sigma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=-\frac{1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)-N^{-2}{}^{(3)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}+N^{-2}N_{\sigma}{}^{(3)}\Gamma^{\sigma}_{\alpha\beta}\nonumber\\ &=-\frac{1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right) \end{align} Karena itu, $$K_{\alpha\beta}=-N\Gamma^0_{\alpha\beta}=\frac{1}{2N}\left[D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right].$$
- Kelengkungan ekstrinsik didefinisikan dalam ruangwaktu ambien (bukan pada permukaan hiper) sebagai $n_a$: $$K_{ab} = -P_\perp{}^c{}_{a}P_\perp{}^d{}_b \nabla_c n_d,$$ dengan $P_\perp$tensor proyeksi pada permukaan hiper. Perhatikan bahwa dengan konstruksi kelengkungan ekstrinsik adalah spasial dan simetris dalam dua indeksnya.
- Gunakan simetri untuk menulis $K_{ab}$ sebagai turunan Lie:$$K_{ab} ={-\scriptsize\frac{1}{2}} P_\perp{}^c{}_{a}P_\perp{}^d{}_b \mathcal{L}_n \,g_{cd}.$$
- Gunakan dekomposisi ortogonal dari metrik dan sistem koordinat yang disesuaikan $t^a = Nn^a + N^a$ agar fungsi selang dan vektor pergeseran tiba $$K_{ab} = {\scriptsize\frac{1}{2}}N^{-1}\mathcal{L}_{(N-t)}h_{ab}.$$
Referensi:
- T. Thiemann, Pengantar Relativitas Umum Kuantum Kanonis Modern , sub-bagian I.1.1