endomorfisme linier antara $V$ dan rangkap dua $V$

Question

Membiarkan $V$ menjadi ruang vektor dimensi terbatas di atas lapangan $K$. $V^*=\{l:V\to K\}$.

Membuktikan $\operatorname{End}(V)$ linier isomorfik menjadi $\operatorname{End}(V^*)$.

Upaya saya: Karena untuk ruang vektor berdimensi hingga $\dim V^*=\dim V$

jadi mereka secara linier isomorfik $\psi:V\to V^*$.

Jadi diberi elemen $T\in \operatorname{End}(V)$ kami dapat menemukan $\hat{T} = \psi T\psi^{-1}$ mudah untuk memeriksa itu endomorfisme linier.

Dan peta itu ke sejak untuk apa pun $\hat{T}$ kita bisa membangun $T=\psi^{-1}\hat{T}\psi \in \operatorname{End}(V)$. Ini suntik sejak$\hat{T} = 0$ menyiratkan $T = 0$ adalah peta nol, jadi ia memiliki kernel yang sepele.

Akhirnya kami perlu menunjukkan $\phi:\operatorname{End}(V) \to \operatorname{End}(V^*)$juga linier. yaitu$\phi(T+S) = \phi(T)+\phi(S)$ menurut definisi $\hat{T}$ itu berlaku.

Apakah bukti saya benar?

Answer 1

Bukti Anda benar. Namun, ada isomorfisme ruang vektor lain di antara keduanya$\operatorname{End}(V)$ dan $\operatorname{End}(V^*)$ yang tidak membutuhkan isomorfisme $V \rightarrow V^*$. Yakni, peta$A \in \operatorname{End}(V)$ untuk $A^* \in \operatorname{End}(V^*)$ dengan mendefinisikan $(A^*\phi)(x) = \phi(Ax)$. Sini,$ x\in V$ dan $\phi \in V^*$.

Answer 2

Anda ingin memetakan $T\colon V\to V$ ke peta linier $V^*\to V^*$ dan ada cara yang jelas untuk melakukannya, yaitu dengan memetakan $T$ untuk transposenya $T^*$. Namun, ini mendefinisikan antiisomorfisme , karena$(T_1T_2)^*=T_2^*T_1^*$.

Anda mendapatkan isomorfisme dengan menggunakan itu, ketika $\dim V=n$, Anda mendapatkan $V\cong M_n(K)$ (cincin $n\times n$matriks) melalui pilihan basis. Transitivitas isomorfisme selesai.