Evaluasi $\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin\left(e^{ix}\right)}{e^{ix}} dx$

Question

Saya mencoba untuk mengevaluasi secara eksplisit integral berikut $$ \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin\left(e^{ix}\right)}{e^{ix}} dx $$

Saya memeriksa WolframAlpha bahwa nilai integralnya $2 \pi$. Menggunakan ini, saya mencoba yang berikut ini.

---

Saya menganalisis konjugasi integral dan melihatnya $$ \overline{\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin\left(e^{ix}\right)}{e^{ix}} dx} = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\overline{\sin\left(e^{ix}\right)}}{\overline{e^{ix}}} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin\left(e^{-ix}\right)}{e^{-ix}} dx \overset{\color{blue}{u = -x}}{=}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin\left(e^{iu}\right)}{e^{iu}} du $$yang menegaskan kepada kita bahwa integral itu nyata. Dari sini kita dapat menyederhanakan integral kita dengan mencari$\Re\left(\frac{\sin\left(e^{ix}\right)}{e^{ix}} \right)$.

Untuk menghindari kekacauan, di sini saya tentukan $c(t) := \cos(t)$ dan $s(t):= \sin(t)$. Dengan mengingat hal ini, saya mengerti\begin{align} \Re\left(\sin\left(e^{ix}\right)e^{-ix} \right) &= \Re\left(\sin(c + is) (c -is) \right) = \Re\left(\frac{e^{-s}e^{ic}-e^{s}e^{ic}}{2i} (c -is) \right)\\ &=\Re\left(\frac{1}{2}\left(e^{-s}\left[\underbrace{\color{blue}{c\{c\}}}_{\cos(\cos(t)} + i\underbrace{\color{blue}{s\{c\}}}_{\sin(\cos(t)}\right]- e^{s}\left[c\{c\} -i s\{c\}\right] \right) (-s -ic) \right)\\ &=\frac{1}{2} \left(-e^{-s}c\{c\}s + e^{s}c\{c\}s +e^{-s}s\{c\}c +e^s s\{c\}c \right)\\ &=s \cos(c) \left(\frac{e^s -e^{-s}}{2}\right) + c \sin(c) \left(\frac{e^s +e^{-s}}{2}\right)\\ &=\sin(t) \cos(\cos(t))\sinh(\sin(t)) + \cos(t) \sin(\cos(t))\cosh(\sin(t)) \end{align}Dan di sinilah saya mendapat masalah, karena saya tidak tahu bagaimana saya bisa mengintegrasikan ekspresi terakhir itu. Saya mencoba mengeksploitasi simetri, tetapi fungsinya genap, jadi saya rasa saya tidak bisa berbuat banyak dengannya tanpa menemukan antiturunan (yang terdengar sangat tidak menyenangkan).

Adakah yang tahu bagaimana saya bisa menyelesaikan solusi saya? Atau sebaliknya, apakah ada yang tahu cara yang lebih sederhana untuk membuktikan hasil ini? Terima kasih banyak!

Answer 1

Membiarkan $z=e^{ix}$. Kemudian integralnya menjadi

$$\oint_{|z|=1} \frac{\sin(z)}{iz^2}\,dz$$

Bisakah kamu menyelesaikannya?

Answer 2

Anda harus bisa menggunakan rumus integral Cauchy. Integral Anda dapat ditulis ulang sebagai$$\int_0^{2\pi}f(e^{ix})\,dx,$$ dimana $f(x)=\sin(x)/x$. Sekarang gantikan$u=e^{ix}$, $du/u=idx$ sehingga integral Anda menjadi $$\frac{1}{i}\int_\gamma \frac{f(u)}{u}\,du.$$ Sini, $\gamma$menunjukkan lingkaran satuan yang berpusat pada titik asal dalam bidang kompleks. Cauchy memberi tahu kami bahwa integral ini adil$2\pi f(0)$, atau dalam kasus Anda, $$2\pi.$$ EDIT: Faktanya, jika $f$ bersifat holomorfik pada disk unit, kami memilikinya $$\int_0^{2\pi} f(e^{i\theta})\,d\theta=2\pi f(0).$$

Answer 3

Pertimbangkan integral kontur dari $\frac{\sin(z)}{z^2}$ di atas lingkaran $\gamma$. Parameter lingkaran selama interval$[-\pi, \pi]$ memberi kami $i \int \frac{\sin{e^{ix}}}{e^{iz}} dx$.

Kita dapat mengambil ekspansi Taylor $\sin(z)$ untuk mendapatkan bahwa integral kontur sama dengan $\int_\gamma \sum\limits_{i = 0}^\infty \frac{z^{2i - 1}}{(2i + 1)!} dz$. Karena jumlahnya konvergen secara seragam di atas lingkaran, kita dapat menukar jumlah dan integralnya untuk mendapatkan$\sum\limits_{i = 0}^\infty \int_\gamma \frac{z^{2i -1}}{(2i - 1)!}$. Tapi untuk$i > 0$, ini adalah integral dari monomial di atas lintasan tertutup, jadi satu-satunya suku yang penting adalah $i = 0$ istilah.

Jadi, integralnya sama $\int_\gamma \frac{1}{z} dz = 2 \pi i$.

Maka integral asli Anda sebenarnya adalah $2 \pi$.