Evaluasi $\lim_{x\to-2}(3x^4+2x^2-x+1)$

Aug 19 2020

$$\lim_{x\to-2}(3x^4+2x^2-x+1)$$

Saya harus mengevaluasi batas ini tanpa menggunakan 'gagasan kesinambungan'. Jadi saya berasumsi saya tidak bisa menggantikannya$-2$ke dalam fungsi dan menemukan batasnya, bisakah saya? Bagaimana cara saya mencari batasan ini?

Jawaban

2 user Aug 19 2020 at 13:52

Kita bisa menebaknya $\lim_{x \to -2} (3x^{4}+2x^{2}-x+1)=59$ dan untuk membuktikannya kita bisa menggunakan definisi untuk menunjukkannya $\forall \varepsilon>0 \: \exists \delta>0 \:\forall x\: |x-(-2)|=|x+2|<\delta$ kita punya

$$|3x^4+2x^2-x+1-59|=|x+2||3x^3-6x^2+14x-29|\le \varepsilon$$

kemudian asumsikan wlog $|x+2|<1$ itu adalah $-3<x<-1$ kemudian

$$|x+2||3x^3-6x^2+14x-29|\le \delta|3x^3-6x^2+14x-29| \le 206 \,\delta$$

sejak $f(x)=x^3-6x^2+14x-29$ negatif meningkat tajam untuk $x\in[-3,-1]$ dan $|f(-3)|=206$, maka itu cukup untuk diasumsikan

$$\delta \le \frac{\varepsilon}{206}$$

Lihat juga terkait

  • Menemukan yang "cocok" $\delta$ diberi batas
  • Sebuah pertanyaan tentang (ε, δ) -definisi batas
1 Александр Aug 19 2020 at 12:21

Sejak itu $$lim_{x \to -2} 3x^{2}=3(-2)^{4},$$ $$\lim_{x\to -2}2x^{2}=2(-2)^{2},$$ $$\lim_{x\to -2}-x=-(-2)$$dan $$\lim_{x \to -2}1=1$$Oleh karena itu Anda dapat menyimpulkan hal itu $$\lim_{x \to -2} (3x^{4}+2x^{2}-x+1)$$ada dan juga $$\lim_{x \to -2} (3x^{4}+2x^{2}-x+1)=3(-2)^{4}+2(-2)^{2}-(-2)+1=59.$$

Perhatikan bahwa Anda hanya memerlukan properti of limit.