Faktor $2n^2 \leq n$?
Berapa banyak faktor $2n^2$ kurang dari atau sama dengan $n$? Saya tahu bahwa jumlah faktor$n^2$ kurang dari $n$ adalah setengah dari jumlah faktor $n^2$ (setiap faktor $< n$ sesuai dengan satu lebih besar dari $n$), tapi $2n^2$adalah kasus yang sama sekali berbeda, tampaknya. Apakah ada cara untuk menemukan ekspresi untuk ini? Dan jika tidak, apakah ada algoritma untuk itu? Saya telah melihat baik kombinatorik dan faktorisasi prima, tetapi telah sampai pada jalan buntu.
Jawaban
Saya tidak melihat solusi analitik umum, karena tampaknya bergantung pada faktorisasi prima dari $n$.
Tapi OP juga meminta kode. Itu sangat mudah. Dalam Mathematica :
myfun[n_: Integer] := Length[
Select[Divisors[2 n^2], # <= n &]]
Begitu:
myfun[9098345]
(* 27 *)
Berikut plotnya:

Ini bukan bagian dari masalah secara langsung, tetapi tampaknya menjadi motivasi masalah. Jika fungsi di atas adalah$f(n)$, hitung $F(N) = \sum\limits_{n=1}^N f(n)$, untuk $N = 10^{12}$.
Saya pikir pendekatannya adalah sebagai berikut: Hitung jumlah$2$s dalam jumlah itu. Kemudian hitung jumlahnya$3$s. Dan seterusnya, lalu tambahkan.
Jumlah $2$s adalah $10^{12}/2$. Jumlah$3$s adalah $10^{12}/3$. Dan seterusnya. Tapi berapa jumlah maksimal yang kita tambahkan ke dalam perhitungan total? Saya pikir itu harus menjadi faktor terbesar yang diizinkan di$10^{12}$ suku (terakhir) dalam penjumlahan, yaitu, $k_{max} = \sqrt{50} \cdot 10^5 = 707107$, diperoleh dari $2 n^2 = 10^{12}$ perhitungan.
Jika benar, maka: $F(10^{12}) = 10^{12} \sum\limits_{k = 1}^{k_{max}} \frac{1}{k} = 10^{12}\ {\rm HarmonicNumber}(k_{max}) = 10^{12} \cdot 14.0461536491411$.
Mungkin ada beberapa artefak pembulatan yang harus disertakan, tapi menurut saya ini adalah pendekatan yang tepat. Seseorang harus melakukan ini dengan lebih hati-hati.
Ini pertanyaan yang sangat menarik. Menganggap$n=2^{a}(2k+1)$ untuk beberapa bilangan bulat $a$ dan $k$. Misal f (x) = jumlah pembagi positif dari bilangan bulat x. Karena faktor$2n^2\leq n$ kami membutuhkan sejumlah faktor $2^{2a+1}(2k+1)^2$. Jadi kita punya$f(2^a(2k+1))+c_{a}$.Dimana $c_{a}$adalah faktor kesalahan memiliki faktor pembatas kecil, yang perlu deterministik. Meskipun ini ide kasar, saya tidak menemukan batasannya tetapi untuk petunjuk, Anda dapat mencoba kasing kecil. Namun biarkan$g(x)=$bilangan bulat terbesar lebih kecil sama dengan x maka, $$c_{a}\leq f(g(2^{\frac{2a+1}{2}}(2k+1)))-f(2^a(2k+1))$$Dimana kita tahu $f$ adalah fungsi pembagi terkenal atau $\tau$ fungsi dan $g$adalah fungsi lantai. Gunakan tautan ini untuk terikat, Batas bawah untuk jumlah fungsi pembagi