Fungsi berkelanjutan $f:\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right]\to[-1,1]$ dan dapat dibedakan $\left(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)$.

Question

---

---

$\blacksquare~$ Masalah: Misalkan fungsi kontinu$f:\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right]\to[-1,1]$ dan dapat dibedakan $\left(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)$. Kemudian, ada benarnya$x_0\in \left(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)$ seperti yang $$|f'(x_0)|\leqslant 1+f(x_0)^2$$

---

$\blacksquare~$ Solusi Saya: Ayo ambil$g(x) = \tan^{-1} f(x) $. Kemudian$g : \left[ - \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right] \to \left[- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \right] $.

Sekarang, sebagai $f$ adalah lanjutan $\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \right]$ dan dibedakan dalam $\left(- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \right)$, $g$ juga sama.

Dengan LMVT, kami memilikinya

$$\frac{g\left(\frac{\pi}{4}\right) - g\left(-\frac{\pi}{4} \right) }{\frac{\pi}{2}} = g'(x_0) \quad \text{for some } x_0 \in \left(- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \right)$$$$\implies \frac{ \frac{\pi}{4} - \left(- \frac{\pi}{4}\right) }{ \frac{\pi}{2} } \geqslant \frac{g\left(\frac{\pi}{4}\right) - g\left(-\frac{\pi}{4} \right) }{\frac{\pi}{2}} = \left(\tan^{-1}f(x_0) \right)' = \frac{f'(x_0)}{1 + f(x_0)^2} $$$$ \implies 1 + f(x_0)^2 \geqslant f'(x_0) $$Sekali lagi, setelah bagian LMVT, kami memiliki itu $$ \implies \frac{ - \frac{\pi}{4} - \left( \frac{\pi}{4}\right) }{ \frac{\pi}{2} } \leqslant \frac{g\left(\frac{\pi}{4}\right) - g\left(-\frac{\pi}{4} \right) }{\frac{\pi}{2}} = \left(\tan^{-1}f(x_0) \right)' = \frac{f'(x_0)}{1 + f(x_0)^2} $$$$ \implies - \left( 1 + f(x_0)^2 \right) \leqslant f'(x_0) $$Oleh karena itu, menggabungkan keduanya, kami memiliki itu$$ \lvert f'(x_0) \rvert \leqslant 1 + f(x_0)^2 \quad \text{for some } x_0 \in \left( - \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \right) $$

---

---

Apakah ini baik-baik saja? Apakah ada kesalahan? Cara lain untuk solusi akan sangat bagus!

Salam, Ralph

Answer 1

Solusi Anda baik-baik saja, Anda dapat menyederhanakan sedikit saja satu langkah: Anda dapat menulis dari memohon $\left\vert \frac{g\left(\frac{\pi}{4}\right) - g\left(-\frac{\pi}{4} \right) }{\frac{\pi}{2}}\right\vert = \vert g'(x_0)\vert \quad \text{for some } x_0 \in \left(- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \right)$ sehingga Anda bisa segera mendapatkannya

$\vert g'(x_0)\vert \le 1$.