$h^{p,q}$ dari torus yang kompleks.

Aug 19 2020

Seperti yang kita ketahui, permukaan Kähler yang ringkas dengan bundel kanonik yang sepele adalah permukaan K3 atau torus berdimensi 2. Saya tahu $h^{0,2}$ dari permukaan K3 adalah 1, dan saya tahu $h^{0,2}$ dari sebuah torus tidak boleh nol (jika tidak selalu aljabar), tapi saya tidak tahu bagaimana cara menghitungnya $h^{0,2}$ dari torus kompleks dimensi 2.

Omong-omong, apakah ada metode umum untuk menghitung semua bilangan Hodge dari torus dimensi yang kompleks $n$? Setiap komentar diterima!

Jawaban

7 ArcticChar Aug 18 2020 at 23:46

Karena Anda menggunakan teori tag Hodge: Seseorang dapat memberi $\mathbb C^n/\Gamma$ metrik datar dari $\mathbb C^n$. Jadi cukup untuk menemukan semua bentuk harmonik.

Karena bundel kotangen yang dikomplekskan itu sepele dan direntang oleh bentuk global $$dz^1, \cdots dz^n, d\bar z^1\cdots, d\bar z^n,$$ semua $(p, q)$-membentuk $\mathbb C^n/\Gamma$ secara global diberikan oleh $$ \alpha = \alpha_{i_1\cdots i_p j_1\cdots j_q} dz^{i_1}\wedge \cdots \wedge dz^{i_p} \wedge d\bar z ^{j_1} \wedge \cdots \wedge d\bar z^{j_q}.$$

dimana $\alpha_{i_1\cdots i_p j_1\cdots j_q} \in C^\infty (\mathbb C^n/\Gamma)$. Sejak

$$\Delta \alpha = (\Delta \alpha_{i_1\cdots i_p j_1\cdots j_q}) dz^{i_1}\wedge \cdots \wedge dz^{i_p} \wedge d\bar z ^{j_1} \wedge \cdots \wedge d\bar z^{j_q},$$

jika $\alpha$ harmonis, $\alpha_{i_1\cdots i_p j_1\cdots j_q}$harus fungsi harmonik. Sejak$\mathbb C^n /\Gamma$ kompak, $\alpha_{i_1\cdots i_p j_1\cdots j_q}$adalah konstanta dengan prinsip maksimum. Jadi$H^{p,q}$ dibatasi oleh $$\{ dz^{i_1}\wedge \cdots \wedge dz^{i_p} \wedge d\bar z ^{j_1} \wedge \cdots \wedge d\bar z^{j_q}\}_{i_1<\cdots<i_p, j_1<\cdots <j_q}.$$

dan

$$h^{p,q} = C^n_p C^n_q.$$