How does the QFT represent the frequency domain?
QFT is often explained through the classical analogue which converts a certain function from the time domain to the frequency domain. When looking at the discrete Fourier transform, it makes sense to see a sin wave become a spike at a certain frequency.
However, I don't see how this "frequency domain" notion applies to the quantum fourier transform. How does the Fourier basis represent this frequency domain?
If we apply a QFT on a quantum "sin wave" will it output a certain frequency?
Jawaban
The Fourier transform is more general than moving from the time domain to the frequency domain. For example, physicists regularly Fourier transform from position space to momentum space.
Dalam kedua contoh ini, transformasi Fourier adalah transformasi basis, yaitu mentransformasikan vektor basis yang digunakan untuk merepresentasikan beberapa status tanpa mengubah status itu sendiri. Demikian juga, QFT hanyalah transformasi basis dari basis komputasi ke basis Fourier .
Untuk melihat bagaimana QFT berhubungan dengan transformasi Fourier yang lebih dikenal, mungkin akan membantu untuk mempertimbangkan bagaimana bilangan bulat direpresentasikan pada basis komputasi dan basis Fourier. Untuk mengilustrasikan, saya akan membahas contoh spesifik dari QFT untuk sistem empat qubit.
Dalam basis komputasi, bilangan bulat direpresentasikan dalam bentuk biner (dengan MSB di sebelah kiri oleh konvensi). Jadi untuk empat qubit$$\vert 0 \rangle=\vert 0000 \rangle, \;\;\vert 1 \rangle=\vert 0001 \rangle, \;\; \vert 2 \rangle=\vert 0010 \rangle,\;\; ..., \;\; \vert 15 \rangle =\vert 1111 \rangle.$$ Secara aljabar ini diberikan oleh $$\vert n \rangle=\vert a(2^3)+b(2^2)+c(2^1)+d(2^0) \rangle=\vert abcd \rangle, \;\; a,b,c,d \in \lbrace 0,1 \rbrace, \; n \in \lbrace 0,...,15\rbrace.$$ Di empat bidang Bloch yang terkait dengan $\vert abcd \rangle$, dihitung dari $\vert 0 \rangle$ untuk $\vert 15 \rangle$terlihat seperti:
Anda dapat melihat bahwa dalam representasi bola Bloch, nilai yang berbeda dari $\vert n \rangle$ dibedakan dengan set qubit yang teratur di kutub utaranya, $\vert 0 \rangle$, atau kutub selatan mereka, $\vert 1 \rangle$. Secara intuitif, saat menghitung, qubit yang terkait dengan LSB,$\vert d \rangle$, mengubah status setiap langkah, sedangkan qubit terkait dengan MSB, $\vert a \rangle$, mengubah status setiap langkah kedelapan. [Perhatikan bahwa bola Bloch sebenarnya adalah bola Riemann (yaitu garis proyektif kompleks), jadi keadaan ortogonal, seperti$\vert 0 \rangle$ dan $\vert 1 \rangle$, diwakili oleh titik antipodal.]
16 bilangan bulat yang sama diwakili atas dasar Fourier, $ \text{QFT} \vert n \rangle = \vert \tilde n \rangle =\vert \tilde a \tilde b \tilde c \tilde d \rangle $, diberikan secara aljabar oleh $$\vert \tilde n \rangle = \tfrac{1}{\sqrt{2^4}}(\vert 0 \rangle + e^{2\pi in/2} \vert 1 \rangle) \otimes (\vert 0 \rangle + e^{2\pi in/2^2} \vert 1 \rangle) \otimes (\vert 0 \rangle + e^{2\pi in/2^3} \vert 1 \rangle) \otimes (\vert 0 \rangle + e^{2\pi in/2^4} \vert 1 \rangle).$$ Sekarang seperti yang kita hitung dalam basis Fourier dari $\vert \tilde n \rangle = \vert \tilde a \tilde b \tilde c \tilde d \rangle = \vert \tilde 0 \rangle$ untuk $\vert \tilde {15} \rangle$ keempat qubit mengubah status setiap langkah, dengan $\vert \tilde a \rangle$ mengambil langkah terbesar (yaitu bertukar di antara $\vert + \rangle$ dan $\vert - \rangle$, yang mana $\frac{1}{2}$ satu belokan per langkah) dan $\vert \tilde d \rangle$ mengambil langkah terkecil ($\frac{1}{16}$ satu putaran per langkah).
Di empat bidang Bloch yang terkait dengan $\vert \tilde a \tilde b \tilde c \tilde d \rangle$, penghitungan dalam basis Fourier muncul karena setiap status qubit berputar di bidang ekuator dengan frekuensi yang menurun dari $\vert \tilde a \rangle$ untuk $\vert \tilde d \rangle$.
Dalam satu urutan penghitungan dari $\vert \tilde 0 \rangle$ untuk $\vert \tilde {16} = \tilde 0 \, (\text{mod} \, \tilde {16}) \rangle$ qubit yang terkait dengan $\vert \tilde a \rangle, \, \vert \tilde b \rangle, \, \vert \tilde c \rangle$, dan $\vert \tilde d \rangle$ buat persis $2^3, \, 2^2, \, 2^1$, dan $2^0$rotasi penuh di bidang ekuator masing-masing. Demikian pula, jika kita menganggap "tidak ada rotasi" pada bidang ekuator sebagai keadaan$H\vert 0 \rangle=\vert+\rangle$, kemudian $\vert \tilde 0 \rangle = \vert ++++ \rangle$ memberikan semua qubit tidak diputar, sementara $\vert \tilde {15} \rangle$memberikan semua qubit pada rotasi maksimalnya (ke arah positif). [Perhatikan bahwa QFT qubit tunggal hanyalah gerbang Hadamard,$H$. Gantinya,$H$hanyalah DFT 2 tingkat seperti yang disebutkan dalam jawaban sebelumnya .]
Dalam contoh ini Anda dapat melihat bagaimana magnitudo tinggi terkait dengan$\vert a \rangle$ sebagai konstituen dari $\vert n \rangle$dalam basis komputasi sesuai dengan frekuensi tinggi yang terkait dengan$\vert \tilde a \rangle$ sebagai konstituen dari $\vert \tilde n \rangle$ dalam basis Fourier, dan seterusnya untuk $\vert b \rangle \,, \vert c \rangle$, dan $\vert d \rangle$. Semoga ini membantu membuat analogi antara QFT dan DFT lebih nyata.
Persamaan yang digunakan di atas khusus untuk contoh sistem empat qubit. Mereka menggeneralisasi secara alami$N$sistem -qubit sebagai $$\vert n \rangle = {\Big \vert} \sum_{k=0}^{N-1} x_k 2^k {\Big \rangle} = \vert x_0 ... x_{N-1} \rangle, \; x_k = \lbrace 0,1 \rbrace, \, n= \lbrace 0,...,2^N-1 \rbrace,$$ $$\text{QFT}\vert n \rangle = \vert \tilde n \rangle = \frac{1}{\sqrt{2^N}}(\vert 0 \rangle + e^{2 \pi i n / 2} \vert 1 \rangle) \otimes ... \otimes (\vert 0 \rangle + e^{2 \pi i n / 2^N} \vert 1 \rangle).$$
Jika Anda mencari keakraban dan kenyamanan tambahan dengan QFT, itu adalah latihan yang bagus untuk meyakinkan diri Anda sendiri bahwa keduanya $\vert n \rangle$ dan $\vert \tilde n \rangle$ adalah basis ortonormal untuk $\mathbb{C}^{2^N}$. Latihan bagus lainnya adalah meyakinkan diri sendiri akan hal itu$$QFT = \frac{1}{\sqrt{2^N}} \sum_{n=0}^{2^N-1} \, \sum_{\tilde n=0}^{2^N-1}e^{2 \pi i n \tilde n/2^N} \vert \tilde n \rangle \langle n \vert$$ adalah operator kesatuan $\mathbb{C}^{2^N}$. (Perhatikan bahwa validitas salah satu pernyataan dalam dua latihan ini menyiratkan validitas yang lain.)
Jika Anda menerapkan $n$-qubit QFT didefinisikan sebagai $\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k = 0}^{N - 1}\sum_{n = 0}^{N - 1}a_n e^{2 \pi i n k/N}\left|k \right>$ bertindak atas suatu keadaan $\sum_{x = 0}^{N - 1}a_x\left|x\right>$ dengan $N = 2^{n}$ pada gelombang dosa dengan frekuensi $k$ didefinisikan sebagai $\frac{1}{2^{(n - 1)/2}}\sum_{x = 0}^{N -1}\sin(\frac{2 \pi x k}{N})\left|x\right>$ dengan $n > 1$ dan $k \neq 0$ untuk menghindari hanya memiliki nilai nol, hasilnya adalah $\frac{i}{\sqrt{2}}\left|k\right> - \frac{i}{\sqrt{2}}\left|N - k\right>$. Ini secara intuitif cocok dengan transformasi Fourier biasa yang memberi$\frac{i \sqrt{\pi}}{\sqrt{2}}\delta(\omega - 2 \pi k) - \frac{i \sqrt{\pi}}{\sqrt{2}}\delta(\omega + 2 \pi k)$ untuk $sin(2 \pi kx)$ jika menggunakan bentuk fisika modern ($\hat f(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{i \omega t}dt$) dan dengan $\omega$menunjukkan frekuensi. Di sisi lain, gelombang$\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{x = 0}^{N - 1}e^{-2 \pi x k/N}\left|x\right>$ yang menggabungkan gelombang kosinus nyata dengan gelombang dosa imajiner yang secara alami ditransformasikan secara lebih alami $\left|k\right>$.
Korespondensi dengan "variabel waktu" dalam QFT bukanlah waktu melainkan status basis komputasi, tetapi hubungan antara dua basis serupa dengan waktu dan frekuensi. Jika Anda mengambil$N$ titik-titik yang berjarak sama pada lingkaran satuan kompleks yang bersama-sama melintasi seluruh lingkaran ($e^{-2\pi i x/N}$ untuk $x$ dari $0$ untuk $N - 1$ berjalan searah jarum jam), lalu dengan amplitudo probabilitas $a_k$ setiap frekuensi $k$ sesuai dengan $\frac{a_k}{\sqrt{N}}\sum_{x=0}^{N - 1}e^{-2 \pi i x k /N}\left|x\right>$: tautan intuitif ke "frekuensi" tradisional adalah berapa kali lingkaran unit kompleks dilingkari sepenuhnya saat Anda melintasi status basis. Jumlah ini untuk semua frekuensi mengembalikan keadaan semula seperti biasa.