Hubungan antara poligon cembung dan elips
Membiarkan $F$ berbatas poligon cembung pada bidang.
Bagaimana kita bisa membenarkan bahwa ada lingkaran $K$ st jika elips berisi $F$ dan tidak terkandung dalam $K$, maka bidang elips ini lebih besar dari $1$?
Bagaimana menunjukkan bahwa terdapat setidaknya satu elips yang bidangnya paling kecil dan berisi poligon $F$?
Saya tidak punya ide yang masuk akal.
Jawaban
Untuk 1: Gambarlah lingkaran kecil $C$ di dalam $F$. Membiarkan$r$ menjadi radius $C$. Elips apa pun yang berisi$F$ harus mengandung $C$. Selanjutnya, sumbu semi-minor dari setiap elips yang mengandung$C$ setidaknya harus $r$. Sekarang gambarlah$K$ konsentris dengan $C$, sehingga radiusnya $R$ dari $K$ setidaknya $\frac{1}{\pi r}$. Sekarang elips tidak sepenuhnya terkandung di dalamnya$K$, setidaknya harus memperpanjang jarak $R$dari tengah. Dan elips apapun yang mengandung$F$harus berisi bagian tengahnya juga. Jadi elips yang mengandung keduanya$F$ dan tidak dibatasi $K$ setidaknya harus memiliki sumbu semi-mayor $R$, karena sumbu semi-mayor adalah yang terjauh sehingga dua titik dalam elips dapat berada satu sama lain. Jadi elips setidaknya harus memiliki sumbu semi-mayor$\frac{1}{\pi r}$ dan sumbu semi-minor setidaknya $r$, dan setidaknya luasnya harus $\pi r \frac{1}{\pi r} = 1$.
Untuk 2: Saya hanya akan memberi petunjuk, jadi Anda mendapat kesempatan untuk memikirkan masalah (dan juga saya malas). Pikirkan tentang meregangkan poligon ke satu arah dan menekannya ke arah lain dengan jumlah yang sama. Transformasi ini melestarikan area. Ini juga mengubah satu poligon cembung menjadi poligon cembung lainnya. Untuk elips apa pun, ada transformasi peregangan / pemerasan yang melestarikan area yang mengubahnya menjadi lingkaran. Juga ini:https://en.wikipedia.org/wiki/Extreme_value_theorem Semoga itu cukup untuk memberi Anda beberapa ide.