Hubungan antara subkelompok terbuka kompak dan kisi

Question

Membiarkan $F$ menjadi bidang lokal non-archimedean, $\mathfrak o$ cincin unitnya dan $\mathfrak p$ideal maksimalnya yang unik. Saya ingin menunjukkan itu$K=GL_2(\mathfrak o)$ adalah subgrup terbuka kompak maksimal yang unik dari $GL_2(F)$ hingga konjugasi.

Petunjuk yang diberikan kepada saya menyarankan untuk mengaitkan hal ini dengan kisi , dan saya tidak melihat banyak hubungannya. Petunjuknya adalah sebagai berikut:

• menunjukkan bahwa ada a $K$-stabil $\mathfrak o$-lattice (disini kita bisa ambil apapun $\mathfrak o$-kisi $\Lambda$ lalu $K\Lambda$ aku s $\mathfrak o$-stabil)
• tunjukkan bahwa satu-satunya $GL_2(\mathfrak o)$kisi -stabil $\mathfrak p^j \oplus \mathfrak p^j$ (Saya kira ini hanya masalah operasi pada baris / kolom dan melihat penilaian)

Namun, selanjutnya apa? Saya tidak melihat bagaimana menghubungkan properti kisi-kisi ini dengan hubungan antara$K$ dan $GL_2(\mathfrak o)$. Terima kasih sebelumnya atas bantuan Anda.

Answer 1

Jika Anda memiliki dua kisi $L, L'$, mencoba untuk mencari $g \in GL_2(F)$ seperti yang $g(L)=L'$.

Sekarang jika $K, K'$ adalah subgrup stabilizer yang sesuai dengan kisi masing-masing, bagaimana kaitannya, menggunakan cara di atas $g$?