Identitas polarisasi jika operator

Aug 19 2020

Membiarkan $\mathcal{H}$ menjadi ruang Hilbert berakhir $\mathbb{C}$. Saya mengetahui (dan membuktikan) identitas polarisasi berikut: \ begin {eqnarray} \ langle x, y \ rangle = \ frac {1} {4} \ sum_ {k = 0} ^ {3} i ^ {k} \ langle x + i ^ {k} y, x + i ^ {k} y \ rangle \ tag {1} \ label {1} ​​\ end {eqnarray} untuk$x,y \in \mathcal{H}$. Sekarang, saya ingin membuktikan hasil berikut sebagai konsekuensi dari (\ ref {1}): \ begin {eqnarray} \ langle Axe, y \ rangle = \ frac {1} {4} \ sum_ {k = 0 } ^ {3} i ^ {k} \ langle A (x + iy), x + iy \ rangle \ tag {2} \ label {2} \ end {eqnarray} di mana$A$ adalah setiap operator linier terbatas yang diberikan $\mathcal{H}$. Jika Anda berubah$x$ untuk $Ax$di (\ ref {1}) Anda mendapatkan: \ begin {eqnarray} \ langle Axe, y \ rangle = \ frac {1} {4} \ sum_ {k = 0} ^ {3} i ^ {k} \ langle Ax + iy, Ax + iy \ rangle \ tag {3} \ label {3} \ end {eqnarray} tetapi tidak (\ ref {2}) dan saya terjebak pada saat ini. Bagaimana (\ ref {1}) menyiratkan (\ ref {2})?

Jawaban

2 MathMath Aug 19 2020 at 01:28

Berkat komentarnya, saya yakin saya mengerti. Pertama, kita harus menunjukkan bahwa polarisasi identitas juga berlaku dalam konteks yang lebih umum, yaitu if$T:\mathcal{H}\times \mathcal{H}\to \mathbb{C}$ memenuhi properti berikut:

(Sebuah) $T(x,\alpha y + \beta z) = \bar{\alpha}T(x,y)+\bar{\beta}T(x,z)$

(b) $T(\alpha x + \beta z, y) = \alpha T(x,y) + \beta T(z,y)$

kemudian, berikut ini:

\ begin {eqnarray} T (x, y) = \ frac {1} {4} \ sum_ {k = 0} ^ {3} i ^ {k} T (x + i ^ {k} y, x + i ^ {k} y) \ tag {1 '} \ label {1.1} \ end {eqnarray}

Bukti (\ ref {1.1}): Tulis:$$T(x,y) = T\bigg{(}\frac{1}{2}(x+iy+x-iy), \frac{1}{2i}(x+iy - (x-iy))\bigg{)}$$ Menggunakan properti (a) dan (b), kita mendapatkan: $$T(x,y) = -\frac{1}{4i}[T(x+iy,x+iy)-T(x+iy,x-iy)+T(x-iy,x+iy)-T(x-iy,x-iy)]$$

Sekarang, perhatikan bahwa: $$-\frac{1}{4i}[T(x+iy,x+iy)-T(x-iy,x-iy)] = \frac{1}{4}i[T(x+iy,x+iy)-T(x-iy,x-iy)]$$ dan, dengan menggunakan (a) dan (b) lagi, kami juga memiliki: $$\frac{1}{4}i [-T(x+iy,x-iy)+T(x-iy,x+iy)] = \frac{1}{4}i[2T(x,iy)-2T(iy,x)] = \frac{1}{4}i[-2iT(x,y)-2iT(y,x)] = \frac{1}{2}[T(x,y)+T(y,x)] = \frac{1}{4}[T(x+y,x+y)-T(x-y,x-y)]$$ dan (\ ref {1.1}) mengikuti.

Sekarang, hasilnya mengikuti pengaturan $T(x,y) := \langle Ax,y\rangle$ untuk semua $x,y \in \mathcal{H}$.