Identitas Ramanujan terkait dengan JacobiFunction [duplikat]

Aug 18 2020

Identitas berikut ini diduga karena Ramanujan $$\int_0^\infty \frac{{\rm d}x}{(1+x^2)(1+r^2x^2)(1+r^4x^2)\cdots} = \frac{\pi/2}{\sum_{n=0}^\infty r^{\frac{n(n+1)}{2}}} \, $$tapi bagaimana Anda membuktikan ini? Penyebut sisi kanan terkait dengan Fungsi Jacobi, jadi mungkin seseorang dapat melanjutkan melalui bentuk modular?

Jawaban

2 JackD'Aurizio Aug 18 2020 at 22:44

Jawaban parsial untuk saat ini. Kami harus membuktikannya$$ \prod_{n\geq 1}\frac{1}{1+r^n}=\sum_{k\geq 0}\prod_{n=1}^{k}\frac{r^{2n-1}}{r^{2n}-1} $$ atau $$ \prod_{n\geq 1}\frac{1-r^n}{1-r^{2n}}=\sum_{k\geq 0}(-1)^k r^{k^2} \prod_{n=1}^{k}\frac{1}{1-r^{2n}} $$ atau $$ \prod_{n\geq 1}(1-r^n) = \sum_{k\geq 0}(-1)^k r^{k^2} \prod_{n>k}(1-r^{2n}) $$

di mana LHS, menurut teorema bilangan pentagonal Euler, sama $$\sum_{k=-\infty}^{+\infty}(-1)^k r^{k(3k-1)/2} $$ dan koefisien $r^m$ di $\prod_{n>k}(1-r^n)$ tergantung pada jumlah partisi $m$ menjadi bagian yang berbeda dengan kardinalitas $>k$, diperhitungkan dengan tanda positif atau negatif sesuai dengan jumlah bagiannya.

Sekarang seharusnya tidak sulit untuk membuktikan klaim kami dengan menggunakan involusi yang sama yang dieksploitasi dalam bukti kombinatorial dari teorema bilangan pentagonal Euler, atau sesuatu yang cukup dekat dengannya.